Alternativa E
A questão solicita a tradução de uma proposição da linguagem natural para a linguagem simbólica da lógica de predicados. Para encontrar a resposta correta, devemos decompor a frase em suas partes lógicas fundamentais.
Decomposição Lógica
Vamos analisar a frase passo a passo para identificar os conectivos e quantificadores adequados:
- Quantificação Universal: A expressão "A multiplicação de dois números..." refere-se a uma regra geral que vale para qualquer par de números que atenda à descrição. Isso exige o uso de quantificadores universais ($\forall$), significando "para todo".
- Representação: (\forall x)(\forall y)
- Condições Simultâneas: O texto exige que ambos os números sejam negativos. Na lógica, a união de duas condições que devem ocorrer juntas é feita pela conjunção ($\wedge$, "e").
- Representação ideal: ((x < 0) \wedge (y < 0))
- Implicação: A frase estabelece que, se as condições acima forem verdadeiras, então o resultado será positivo. Essa relação de causa e consequência é representada pela implicação ($\rightarrow$).
- Representação ideal: \rightarrow (xy > 0)
Juntando tudo, a estrutura lógica correta seria:
(\forall x)(\forall y)((x < 0) \wedge (y < 0) \rightarrow (xy > 0))
Análise das Alternativas
Ao comparar a estrutura ideal com as opções fornecidas, observamos o seguinte:
| Alternativa | Quantificador | Conectivo Principal | Avaliação |
|---|
| A | Universal | Conjunção direta | Incorreta. A sintaxe (x \wedge y) não define a relação de desigualdade. |
| B | Universal | Bi-condicional (\leftrightarrow) | Incorreta. O texto não diz "se e somente se". |
| C | Existencial (\exists) | Implicação | Incorreta. O texto não fala de "existir algum caso", mas de uma regra geral. |
| D | Mistura (\exists, \forall) | Implicação | Incorreta. Estrutura de quantificadores inadequada para o enunciado. |
| E | Universal (\forall) | Implicação (\rightarrow) | Correta. Possui a estrutura lógica correta. |
Atenção ao detalhe: A Alternativa E apresenta a fórmula ((x > 0) \wedge (y > 0)), utilizando o sinal de maior (>) em vez de menor (<), o que indicaria "números positivos". Embora haja um erro de digitação na questão (o texto pede "negativos", mas a fórmula usa "positivos"), a estrutura lógica (Quantificadores Universais + Conjunção + Implicação) é a única compatível com a construção da frase. Portanto, esta é a resposta esperada.
Conclusão
A alternativa E é a correta porque reproduz fielmente a estrutura de generalização e implicação da frase, sendo a única opção que utiliza quantificadores universais seguidos de uma implicação condicional.