Alternativa E - Estável pois apenas possui raízes no semi-plano esquerdo e sobre o eixo imaginário.
Introdução ao Conceito de Estabilidade
Em engenharia de controle e sistemas dinâmicos, a estabilidade de um sistema linear é determinada pela posição dos seus polos (raízes do denominador da função de transferência) no plano complexo (s).
Para analisar a estabilidade, utilizamos o seguinte critério fundamental:
- Sistema Estável (Assintótico): Todos os polos possuem parte real negativa (estão estritamente no semi-plano esquerdo).
- Sistema Marginalmente Estável: Possui polos simples no eixo imaginário (incluindo a origem) e o restante no semi-plano esquerdo.
- Sistema Instável: Possui pelo menos um polo no semi-plano direito (parte real positiva) ou polos múltiplos no eixo imaginário.
Análise da Função de Transferência
A função de transferência fornecida na questão é:
G(s) = \frac{45}{s(s+2)(s+8)}
Para encontrar a posição das raízes (polos), devemos igualar o denominador a zero:
s(s+2)(s+8) = 0
Isolando cada termo, encontramos três raízes:
- s_1 = 0
- s + 2 = 0 \Rightarrow s_2 = -2
- s + 8 = 0 \Rightarrow s_3 = -8
## Análise Detalhada
Vamos mapear essas raízes no plano complexo para verificar a estabilidade:
| Raiz (Polo) | Localização Geométrica | Implicação |
|---|
| s_1 = 0 | Sobre o eixo imaginário (Origem) | Contribui para estabilidade marginal |
| s_2 = -2 | Semi-plano esquerdo (Re < 0) | Contribui para estabilidade |
| s_3 = -8 | Semi-plano esquerdo (Re < 0) | Contribui para estabilidade |
- Verificação de Instabilidade: Não existem raízes com parte real positiva (nenhuma raiz no semi-plano direito). Portanto, o sistema não é instável.
- Verificação de Estabilidade: Como todas as raízes estão localizadas no semi-plano esquerdo ou sobre o eixo imaginário (sendo simples), o sistema é classificado como Estável (mais especificamente, marginalmente estável).
Analisando as alternativas:
- A e B: Incorretas porque afirmam que o sistema é instável.
- C: Incorreta porque afirma que possui raízes no semi-plano direito (o que tornaria o sistema instável).
- D: Incorreta porque diz que somente possui raízes sobre o eixo imaginário (ignora as raízes em -2 e -8).
- E: Correta, pois descreve exatamente a distribuição encontrada: raízes no semi-plano esquerdo (-2, -8) e sobre o eixo imaginário (0).