Com os algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos DIFERENTES que podemos formar, sabendo-se que necessariamente devemos usar pelo menos um algarismo 2 ou um algarismo 5?

Alternativa E

Para resolver essa questão de Análise Combinatória, utilizaremos o método da contagem complementar (também chamado de contagem indireta). É muito mais rápido calcular o total de possibilidades e subtrair aquelas que não atendem aos requisitos, do que tentar somar todos os casos possíveis que atendem à regra.

Desenvolvimento

1. Entendendo o Problema

• Algarismos disponíveis: De 1 a 9 (total de 9 algarismos).
• Estrutura: Números de 4 algarismos diferentes.
• Regra: Deve conter pelo menos um 2 ou um 5.

2. Estratégia: Total - Proibido
A regra diz "pelo menos um". O contrário disso é "nenhum".
Portanto, calcularemos:
\text{Total Possível} - \text{Números que NÃO têm 2 e NÃO têm 5}

3. Passo a Passo

• Cálculo do Total (T):
  Quantos números de 4 algarismos diferentes podemos formar com os 9 dígitos (1 a 9)? Como a ordem importa (ex: 1234 é diferente de 4321) e não há repetição, usamos Arranjo.
• Elementos totais: 9
• Elementos escolhidos: 4
• Fórmula: A_9^4 (Na notação da imagem, aparece como A_4^9).
• Cálculo do Proibido (P):
  Precisamos excluir os números que não usam o algarismo 2 e não usam o algarismo 5.
  Se retirarmos o 2 e o 5 do nosso conjunto original, sobram apenas 7 algarismos válidos: \{1, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}.
• Elementos totais disponíveis agora: 7
• Elementos escolhidos: 4
• Fórmula: A_7^4 (Na notação da imagem, aparece como A_4^7).

4. Montando a Expressão
Subtraindo o proibido do total, obtemos a quantidade de números que têm pelo menos um 2 ou um 5:

Observando as opções na imagem, a notação utilizada coloca o número de posições (4) embaixo e o total de elementos (9 ou 7) em cima. Assim, a expressão fica:

Isso corresponde exatamente à Alternativa E.