Ao financiar uma compra, o pagamento é feito em parcelas e geralmente contém juros. Os lojistas costumam fornecer o valor de cada parcela N, a quantidade de parcelas n e a taxa de juros i para os clientes antes da compra. Com n e i, é possível calcular o valor total a pagar pela compra e com N, n e i, é possível calcular qual seria o valor V à vista da compra, chamado de valor atual, fazendo N/(1+i) + N/(1+i)^2 + ... + N/(1+i)^n. Imagine que uma compra foi parcelada em 2 vezes sob uma taxa de juros de 2%. Qual é a expressão que fornece o valor de cada parcela em função do valor atual?

Resolução da Questão

Alternativa B

A questão solicita a determinação do valor de cada parcela (N) dado o valor atual da compra (V), utilizando uma taxa de juros específica e um número fixo de parcelas.

Passo a Passo da Resolução

1. Identificar os dados fornecidos:

• Número de parcelas (n): 2
• Taxa de juros (i): 2% ou $0,02$
• Fórmula geral do Valor Atual (V):
  V = \frac{N}{1+i} + \frac{N}{(1+i)^2} + \dots + \frac{N}{(1+i)^n}

1. Substituir os valores na fórmula:
   Como a compra é em 2 vezes (n=2), a soma termina no segundo termo. Substituímos i por $0,02$:
   V = \frac{N}{1+0,02} + \frac{N}{(1+0,02)^2}

Simplificando os termos numéricos:
V = \frac{N}{1,02} + \frac{N}{(1,02)^2}

1. Fatorar o valor da parcela (N):
   Para facilitar a resolução, colocamos N em evidência:
   V = N \cdot \left[ \frac{1}{1,02} + \frac{1}{(1,02)^2} \right]
2. Realizar a soma das frações:
   O denominador comum entre $1,02$ e (1,02)^2 é (1,02)^2. Multiplicamos o numerador e denominador da primeira fração por $1,02$:
   \frac{1}{1,02} = \frac{1 \cdot 1,02}{1,02 \cdot 1,02} = \frac{1,02}{(1,02)^2}

Agora somamos as frações:
\text{Soma} = \frac{1,02}{(1,02)^2} + \frac{1}{(1,02)^2} = \frac{1,02 + 1}{(1,02)^2} = \frac{2,02}{(1,02)^2}

1. Isolar a variável N:
   Substituindo a soma na equação original:
   V = N \cdot \frac{2,02}{(1,02)^2}

Para encontrar a expressão de N(V), invertemos a multiplicação:
N = V \cdot \frac{(1,02)^2}{2,02}

Ou seja:
N(V) = \frac{V \cdot (1,02)^2}{2,02}

Análise das Alternativas

Conclusão

A alternativa que apresenta corretamente a relação entre o valor da parcela e o valor atual para esse cenário específico é a Alternativa B.