Calcule o valor da expressão $A = 8^{ rac{1}{3}} + ig( rac{1}{9}ig)^{ rac{1}{2}} + 16^{ rac{1}{4}}$.

Resumo: O valor da expressão A é igual a $\frac{13}{3}$ ou $4\frac{1}{3}$.

Resolução Detalhada

O exercício solicita o cálculo de uma expressão contendo potências com expoentes fracionários. Para resolvê-lo, devemos aplicar a propriedade fundamental que relaciona potenciação e radiciação.

Conceito Chave: Expoente Fracionário

A regra básica utilizada é:
a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Isso significa que um expoente do tipo \frac{1}{n} indica a raiz $n$-ésima do número base. Vamos calcular cada termo da expressão separadamente:

1. Primeiro Termo: $8^{\frac{1}{3}}$

• Aplicando a regra: \sqrt[3]{8}
• Qual número elevado ao cubo resulta em 8? Como $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, temos:
• \sqrt[3]{8} = 2

1. Segundo Termo: \left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2}}

• Aplicando a regra: \sqrt{\frac{1}{9}}
• A raiz quadrada de um quociente é o quociente das raízes: \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}
• Sabemos que \sqrt{1} = 1 e \sqrt{9} = 3:
• Resultado: \frac{1}{3}

1. Terceiro Termo: $16^{\frac{1}{4}}$

• Aplicando a regra: \sqrt[4]{16}
• Qual número elevado à quarta potência resulta em 16? Como $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$, temos:
• \sqrt[4]{16} = 2

Cálculo Final

Agora substituímos os valores encontrados na expressão original:

Somamos os números inteiros primeiro:
A = 4 + \frac{1}{3}

Para somar o inteiro com a fração, convertemos o 4 em uma fração com denominador 3:
4 = \frac{12}{3}

Portanto:
A = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}

Conclusão:
O valor calculado da expressão é $\frac{13}{3}$ (ou aproximadamente 4,33).