Alternativa E
Para resolver esta questão, utilizaremos o Método de Gauss-Seidel, um algoritmo iterativo usado para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações lineares. A característica principal deste método é utilizar o valor mais recente calculado de uma variável dentro da mesma iteração, diferentemente do método de Jacobi.
Análise Detalhada
1. Isolamento das Variáveis
Primeiro, reescrevemos cada equação isolando a variável principal (diagonal principal) de acordo com a sua posição no sistema:
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{6 + x_2 - 2x_3}{10} \\
x_2 &= \frac{25 + x_1 + x_3 - 3x_4}{11} \\
x_3 &= \frac{-11 - 2x_1 + x_2 + x_4}{10} \\
x_4 &= \frac{15 - 3x_2 + x_3}{8}
\end{aligned}
2. Primeira Iteração (k=1)
Partimos da aproximação inicial x_1=x_2=x_3=x_4=0. Calculamos os valores substituindo zeros e atualizando imediatamente:
- x_1^{(1)} = \frac{6 + 0 - 0}{10} = 0.6
- x_2^{(1)} = \frac{25 + 0.6 + 0 - 0}{11} \approx 2.327273
- x_3^{(1)} = \frac{-11 - 2(0.6) + 2.327273 + 0}{10} \approx -0.987273
- x_4^{(1)} = \frac{15 - 3(2.327273) + (-0.987273)}{8} \approx 0.878864
Nota: Os valores acima correspondem às opções C e D, mas a questão pede a SEGUNDA iteração.
3. Segunda Iteração (k=2)
Utilizamos agora os valores obtidos na iteração anterior, lembrando de usar o valor mais recente disponível (ex: para calcular x_2^{(2)}, usamos x_1^{(2)} já calculado, não x_1^{(1)}).
- Cálculo de x_1^{(2)}:
x_1^{(2)} = \frac{6 + 2.327273 - 2(-0.987273)}{10} = \frac{10.301819}{10} \approx 1.030182 - Cálculo de x_2^{(2)}:
x_2^{(2)} = \frac{25 + 1.030182 + (-0.987273) - 3(0.878864)}{11} \approx \frac{22.406317}{11} \approx 2.036938 - Cálculo de x_3^{(2)}:
x_3^{(2)} = \frac{-11 - 2(1.030182) + 2.036938 + 0.878864}{10} \approx \frac{-10.144562}{10} \approx -1.014456 - Cálculo de x_4^{(2)}:
x_4^{(2)} = \frac{15 - 3(2.036938) + (-1.014456)}{8} \approx \frac{7.87473}{8} \approx 0.984341
Conclusão
Os resultados obtidos para a segunda iteração são:
- x_1 \approx 1.030182
- x_2 \approx 2.036938
- x_3 \approx -1.014456
- x_4 \approx 0.984341
Esses valores coincidem exatamente com a Alternativa E. As outras alternativas apresentam erros comuns, como parar na primeira iteração (C e D) ou confundir os valores das variáveis (A e B).