Dada a equação \frac{3x^2 + 5}{2} + \frac{(x-1)(x+4)}{3} - \frac{3x + 5}{4} + \frac{11}{12} = 0, pode-se afirmar que

Alternativa D - não há raízes reais

Para resolver esta questão, precisamos encontrar o conjunto solução da equação fracionária apresentada. O processo envolve eliminar os denominadores, simplificar a expressão resultante e analisar o discriminante da equação quadrática.

Resolução Passo a Passo

1. Eliminação dos Denominadores
O primeiro passo é encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores $2, 3, 4$ e $12$.
MMC(2, 3, 4, 12) = 12
Multiplicamos toda a equação por $12$:
12 \cdot \left[ \frac{3x^2 + 5}{2} + \frac{(x - 1)(x + 4)}{3} + \frac{-3x + 5}{4} + \frac{11}{12} \right] = 12 \cdot 0

2. Simplificação dos Termos
Realizamos a divisão do multiplicador pelo denominador de cada fração:

• Primeiro termo: $6 \cdot (3x^2 + 5) = 18x^2 + 30$
• Segundo termo: $4 \cdot (x^2 + 4x - x - 4) = 4(x^2 + 3x - 4) = 4x^2 + 12x - 16$
• Terceiro termo: $3 \cdot (-3x + 5) = -9x + 15$
• Quarto termo: $11$

Somando todos os termos:
(18x^2 + 30) + (4x^2 + 12x - 16) + (-9x + 15) + 11 = 0

3. Agrupamento de Termos Semelhantes
Juntamos os coeficientes de x^2, x e os números independentes:

• Coeficiente de x^2: $18 + 4 = 22$
• Coeficiente de x: $12 - 9 = 3$
• Números constantes: $30 - 16 + 15 + 11 = 40$

A equação reduzida é:
22x^2 + 3x + 40 = 0

Análise do Discriminante

Para determinar se existem raízes reais, calculamos o discriminante (\Delta) usando a fórmula \Delta = b^2 - 4ac:

• a = 22
• b = 3
• c = 40

Como o valor de \Delta é negativo (\Delta < 0), a equação quadrática não possui raízes reais.

Conclusão

Analisando as alternativas apresentadas na imagem (considerando a ordem padrão de cima para baixo):

1. as raízes são 1 e 2.
2. as raízes são 1 e 3.
3. as raízes são 2 e 3.
4. não há raízes reais.

A alternativa correta é a última opção, que afirma a inexistência de raízes reais.

Alternativa D