Dada a função de transferência $G(s) = \frac{s^2 + 2}{s^2 + 2}$ Obtenha a função de transferência G(z), para uma período de discretização de 0,2 segundo, utilizando o método de discretização bilinear

Alternativa B

Para encontrar a função de transferência discreta G(z) a partir da função contínua G(s) utilizando o método de discretização bilinear (também conhecido como Transformada de Tustin), devemos seguir os passos abaixo.

Desenvolvimento

1. Identificar a Fórmula de Substituição
   O método bilinear utiliza a seguinte relação para substituir a variável complexa s:
   s = \frac{2}{T} \cdot \frac{z - 1}{z + 1}
   Onde T é o período de amostragem. Neste problema, T = 0,2 segundos.
2. Calcular o Fator de Escala
   Calculamos o valor de \frac{2}{T}:
   \frac{2}{0,2} = 10
   Portanto, a substituição será:
   s = 10 \frac{z - 1}{z + 1}
3. Substituir na Função de Transferência Original
   A função dada é:
   G(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 2}

Substituindo s no numerador e no denominador:

• Numerador:
  s + 2 = 10 \frac{z - 1}{z + 1} + 2 = \frac{10(z - 1) + 2(z + 1)}{z + 1} = \frac{10z - 10 + 2z + 2}{z + 1} = \frac{12z - 8}{z + 1}
• Denominador:
  s^2 + 2 = \left( 10 \frac{z - 1}{z + 1} \right)^2 + 2 = \frac{100(z - 1)^2}{(z + 1)^2} + 2 = \frac{100(z^2 - 2z + 1) + 2(z^2 + 2z + 1)}{(z + 1)^2}
  = \frac{100z^2 - 200z + 100 + 2z^2 + 4z + 2}{(z + 1)^2} = \frac{102z^2 - 196z + 102}{(z + 1)^2}

1. Montar a Função $G(z)$
   Dividimos o numerador pelo denominador calculado:
   G(z) = \frac{\frac{12z - 8}{z + 1}}{\frac{102z^2 - 196z + 102}{(z + 1)^2}} = \frac{12z - 8}{z + 1} \cdot \frac{(z + 1)^2}{102z^2 - 196z + 102}
   Cancelando um termo (z+1):
   G(z) = \frac{(12z - 8)(z + 1)}{102z^2 - 196z + 102}
   Expandindo o numerador:
   (12z - 8)(z + 1) = 12z^2 + 12z - 8z - 8 = 12z^2 + 4z - 8
   Resultado intermediário:
   G(z) = \frac{12z^2 + 4z - 8}{102z^2 - 196z + 102}
2. Normalizar os Coeficientes
   Para comparar com as alternativas, dividimos todo o polinômio pelo coeficiente líder do denominador ($102$), tornando-o unitário ($1z^2$):

• Coeficiente z^2 (Num): $12 / 102 \approx 0,1176$
• Coeficiente z (Num): $4 / 102 \approx 0,0392$
• Termo Independente (Num): -8 / 102 \approx -0,0784
• Coeficiente z (Denom): -196 / 102 \approx -1,9216
• Termo Independente (Denom): $102 / 102 = 1$

Arredondando para 3 casas decimais, obtemos:
G(z) \approx \frac{0,117z^2 + 0,039z - 0,078}{z^2 - 1,921z + 1}

Análise

• Comparação das Alternativas:

• Conclusão: Apenas a Alternativa B apresenta os sinais e valores dos coeficientes correspondentes ao cálculo realizado via método bilinear. As outras opções apresentam erros nos sinais ou nos valores numéricos.

Alternativa B.