Dada a operação com números complexos: x = (3 - j4) / (10∠30°).(4 + j3) Calcular o valor de x

Alternativa A

Para resolver esta operação com números complexos, é mais eficiente converter todos os termos para o Forma Polar. Isso simplifica as operações de multiplicação e divisão, transformando-as em operações aritméticas simples com módulos e argumentos.

Passo a Passo da Resolução

1. Conversão do Numerador para Polar
O termo no numerador é $3 - j4$.

• Módulo (r): \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
• Argumento (\theta): Como está no 4º quadrante (real positivo, imaginário negativo), o ângulo é -\arctan(\frac{4}{3}). Sabendo que \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53,13^\circ, temos:
  3 - j4 = 5\angle-53,13^\circ

2. Conversão de um Termo do Denominador para Polar
O termo (4 + j3) também precisa ser convertido.

• Módulo (r): \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
• Argumento (\theta): No 1º quadrante, \arctan(\frac{3}{4}) \approx 36,87^\circ.
  4 + j3 = 5\angle36,87^\circ

3. Aplicação das Regras de Operação
A expressão original fica:
x = \frac{5\angle-53,13^\circ}{(10\angle30^\circ) \cdot (5\angle36,87^\circ)}

Utilizamos as regras de polares:

• Multiplicação: Multiplica-se os módulos e somam-se os ângulos.
• Divisão: Divide-se o módulo do numerador pelo do denominador e subtrai-se o ângulo do denominador do do numerador.

Análise Detalhada

• Cálculo do Módulo Final:
  |x| = \frac{5}{10 \cdot 5} = \frac{5}{50} = 0,1
  Isso elimina as alternativas B e D imediatamente.
• Cálculo do Ângulo Final:
  O ângulo total do denominador é a soma dos ângulos dos fatores: $30^\circ + 36,87^\circ = 66,87^\circ$.
  Para a divisão, subtraímos esse valor do ângulo do numerador:
  \theta_{final} = -53,13^\circ - 66,87^\circ = -120^\circ

Nota: Uma propriedade útil aqui é que os triângulos retângulos (3,4,5) têm ângulos complementares. A soma dos ângulos internos dos dois triângulos envolvidos é exatamente $90^\circ$ ($53,13^\circ + 36,87^\circ = 90^\circ$). Portanto:
\text{Ângulo Total} = -(53,13^\circ + 36,87^\circ) - 30^\circ = -90^\circ - 30^\circ = -120^\circ

Conclusão

O resultado da operação é $0,1\angle-120^\circ$, o que corresponde à alternativa A.