Dada a operação com números complexos: x = (4 + j3).(5∠20°) Calcular o valor de x

Alternativa E

Para resolver esta questão, é necessário realizar a multiplicação de dois números complexos apresentados em formas diferentes: um na forma retangular e outro na forma polar.

A regra fundamental para multiplicar números complexos na forma polar é multiplicar os módulos e somar os argumentos (ângulos).

Análise do Problema

1. Conversão da Forma Retangular para Polar:
   O primeiro número complexo é z_1 = 4 + j3. Para operar com o segundo termo que já está em polar, precisamos converter este primeiro termo.

• Módulo (r_1): Calculado pelo teorema de Pitágoras, \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5.
• Argumento (\theta_1): Calculado pela tangente inversa, \arctan(\frac{3}{4}) \approx 36,87^\circ.
• Portanto, z_1 = 5 \angle 36,87^\circ.

1. Identificação do Segundo Número Complexo:
   O segundo número já está na forma polar: z_2 = 5 \angle 20^\circ.

• Módulo (r_2): $5$
• Argumento (\theta_2): $20^\circ$

1. Aplicação da Regra de Multiplicação:
   A operação de multiplicação segue a fórmula:
   (r_1 \angle \theta_1) \cdot (r_2 \angle \theta_2) = (r_1 \cdot r_2) \angle (\theta_1 + \theta_2)

Substituindo os valores encontrados:

• Novo módulo: $5 \cdot 5 = 25$
• Novo ângulo: $36,87^\circ + 20^\circ = 56,87^\circ$

1. Resultado Final:
   Combinando as partes, obtemos:
   x = 25 \angle 56,87^\circ

Comparando com as alternativas, o resultado corresponde exatamente à opção E.

Alternativa E.