Dada a operação com números complexos: x = ((6 - j8).(4 + j3))/(10∠30°) Calcular o valor de x

Alternativa B

Para resolver essa operação com números complexos, a estratégia mais eficiente é utilizar a forma polar, onde realizamos multiplicações somando ângulos e divisões subtraindo ângulos.

Resolução Detalhada

1. Conversão do Numerador para Forma Polar

O numerador é o produto de dois complexos: (6 - j8) e (4 + j3). Vamos converter cada um individualmente para o formato r \angle \theta.

• Primeiro complexo (z_1 = 6 - j8):
• Módulo (r_1): \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
• Ângulo (\theta_1): Como o número está no 4º quadrante (parte real positiva, imaginária negativa), usamos \arctan(\frac{-8}{6}).
• \theta_1 \approx -53,13^\circ
• Resultado: $10 \angle -53,13^\circ$
• Segundo complexo (z_2 = 4 + j3):
• Módulo (r_2): \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
• Ângulo (\theta_2): No 1º quadrante, usamos \arctan(\frac{3}{4}).
• \theta_2 \approx 36,87^\circ
• Resultado: $5 \angle 36,87^\circ$
• Multiplicação no Numerador:
  Para multiplicar na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos os ângulos:
  \text{Num} = (10 \cdot 5) \angle (-53,13^\circ + 36,87^\circ)
  \text{Num} = 50 \angle -16,26^\circ

2. Divisão Final

Agora dividimos o resultado do numerador pelo denominador dado ($10 \angle 30^\circ$).

• Regra da Divisão Polar: Divide-se os módulos e subtrai-se os ângulos.
  x = \frac{50 \angle -16,26^\circ}{10 \angle 30^\circ}
  x = \frac{50}{10} \angle (-16,26^\circ - 30^\circ)
  x = 5 \angle -46,26^\circ

Conclusão

O valor calculado para x é $5 \angle -46,26^\circ$, o que corresponde exatamente à Alternativa B.