Dado o seguinte sistema representado em espaço de estados: imagem do sistema de estados Obtenha a representação do sistema discreto em espaço de estados para um período de discretização de 0,5 segundo.

Alternativa B

Introdução ao Problema
O exercício solicita a discretização de um sistema dinâmico contínuo representado no espaço de estados. O objetivo é encontrar as matrizes do sistema discreto (A_d, B_d, C_d) dado o sistema contínuo (A, B, C) e um período de amostragem T = 0,5 segundos.

A relação fundamental entre as matrizes de estado contínuo e discreto é dada pela matriz exponencial:
A_d = e^{AT}
B_d = \left( \int_{0}^{T} e^{A\tau} d\tau \right) B
C_d = C

Análise Matemática

Calcular a matriz exponencial e^{AT} diretamente pode ser complexo. Uma estratégia eficiente para resolver questões de múltipla escolha é utilizar as propriedades de invariantes da matriz, especificamente o Determinante e o Traço.

1. Propriedades do Sistema Contínuo:
Dada a matriz A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}:

• Traço (\text{tr}(A)): Soma dos elementos da diagonal principal.
  \text{tr}(A) = 0 + 4 = 4
• Determinante (\det(A)):
  \det(A) = (0)(4) - (1)(-1) = 1

2. Relação com o Sistema Discreto (T = 0,5):
Para a matriz discreta A_d = e^{AT}, valem as seguintes identidades:

• Determinante: \det(A_d) = e^{\text{tr}(A) \cdot T}
• Traço: \text{tr}(A_d) = \sum e^{\lambda_i T} (soma das exponenciais dos autovalores escalados pelo tempo).

Vamos calcular os valores esperados:

• Determinante Esperado:
  \det(A_d) = e^{4 \cdot 0,5} = e^2 \approx 7,389
  Observação: O determinante deve ser positivo, pois e^x sempre resulta em número real positivo.
• Traço Esperado:
  Primeiro, achamos os autovalores de A resolvendo \det(\lambda I - A) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 1 = 0.
  \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \approx 3,732 \text{ e } 0,268
  \text{tr}(A_d) = e^{3,732 \cdot 0,5} + e^{0,268 \cdot 0,5} \approx e^{1,866} + e^{0,134} \approx 6,46 + 1,14 = 7,60

3. Verificação das Alternativas:

• Análise do Determinante: Apenas a Alternativa B possui um determinante positivo próximo de $7,39$. As outras resultam em valores negativos, o que é impossível para uma matriz exponencial.
• Análise do Traço: Somando as diagonais da matriz A_d na alternativa B ($0,732 + 6,874$), obtemos $7,606$, que confere perfeitamente com o valor teórico.

Conclusão
Apesar de haver uma pequena inconsistência aparente no vetor B_d na própria questão (troca de linhas em relação ao cálculo exato), a Matriz de Estado $A_d$ está corretamente representada apenas na Alternativa B, pois é a única que respeita as propriedades fundamentais da exponencial de matriz (traço e determinante).

Portanto, a resposta correta é a Alternativa B.