Demonstre que √2 é um número irracional, feita por um estudante de métodos de demonstração, ele assim escreveu: Demonstração. Suponha, por absurdo, que √2 é racional. Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a e b, com b ≠ 0, tais que √2 poderia ser representada como fração irredutível a/b. II. A partir disto, podemos afirmar que: 2 = (√2)² = a²/b² = a² / 2b² 2b² = a² A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

Alternativa A - As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.

Introdução

Esta questão aborda a demonstração por absurdo (também chamada de reductio ad absurdum), um método clássico usado na matemática para provar que uma afirmação é falsa ou verdadeira. O objetivo aqui é verificar a validade lógica e matemática de cada parte da demonstração apresentada pelo estudante.

Desenvolvimento

Para responder corretamente, precisamos analisar separadamente as asserções I e II e a relação entre elas.

Análise da Asserção I

A asserção I inicia a prova estabelecendo a hipótese inicial:

• Assume-se que \sqrt{2} seja um número racional.
• Por definição, todo número racional pode ser escrito como uma fração \frac{a}{b} onde a e b são inteiros, b \neq 0, e a fração é irredutível (não podem ter divisores comuns além de 1).

Essa etapa está correta e constitui a base lógica para iniciar uma prova por contradição. Se assumirmos isso, devemos chegar a uma contradição para provar que a premissa estava errada. Portanto, a asserção I é uma proposição verdadeira.

Análise da Asserção II

A asserção II desenvolve a demonstração algébrica partindo da hipótese da assunção I:

1. Elevar ao quadrado: $2 = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow 2b^2 = a^2$.
2. Análise de paridade: Como $2b^2 = a^2$, a^2 é múltiplo de 2, logo a é par.
3. Substituição: Seja a = 2k. Substituindo na equação anterior, chegamos a b^2 = 2k^2.
4. Contradição: Isso implica que b também é par. Se a e b são ambos pares, eles têm um divisor comum (2), o que viola a condição de que a fração \frac{a}{b} fosse irredutível.

Essa sequência lógica é matematicamente correta e demonstra exatamente por que a suposição inicial (de que \sqrt{2} é racional) é impossível. Portanto, a asserção II é uma proposição verdadeira.

Análise Relacional

A palavra "PORQUE" no enunciado conecta a assunção inicial (I) ao seu desenvolvimento lógico (II).

• A assunção I propõe o ponto de partida.
• A assunção II fornece a justificativa e a evidência matemática que refuta a suposição de I, levando à conclusão de que \sqrt{2} é irracional.

Sem a justificativa da assunção II, a assunção I permaneceria apenas uma hipótese sem consequências demonstradas. Portanto, II justifica I no contexto da prova.

Conclusão

Ambas as partes da demonstração estão logicamente corretas e relacionadas causalmente. A opção que descreve essa situação é a A.