Demonstre que √2 é um número irracional, feita por um estudante de métodos de demonstração, ele assim escreveu: Demonstração. Suponha, por absurdo, que √2 é racional. Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b ≠ 0, tais que √2 poderia ser representada como fração irredutível a/b PORQUE II. A partir disto, podemos afirmar que: 2 = (√2)² = a²/b² = a² / 2b²

Análise da Questão

Esta questão aborda conceitos fundamentais de Teoria dos Números e Lógica Matemática, especificamente o método de demonstração por redução ao absurdo (ou prova indireta) para provar a irracionalidade da raiz quadrada de 2.

Avaliação das Asserções

Para responder corretamente, precisamos verificar a veracidade de cada parte e a relação lógica entre elas:

1. Análise da Asserção I:

• O texto propõe: "Suponha, por absurdo, que \sqrt{2} é racional. Desta forma, seria possível encontrar números inteiros a; b, com b \neq 0, tais que \sqrt{2} poderia ser representado como fração irredutível a/b."
• Veredito: Esta afirmação é VERDADEIRA.
• Explicação: Por definição, um número é racional se puder ser escrito como uma fração \frac{a}{b} onde a e b são inteiros e b \neq 0. Além disso, qualquer fração pode sempre ser simplificada até sua forma irredutível (onde a e b não têm divisores comuns além de 1). A assunção de começar provando pelo contrário (assumindo que é racional para achar uma contradição) é o padrão desse método de prova.

1. Análise da Asserção II:

• O texto apresenta os cálculos: "A partir disto, podemos afirmar que: $2 = (\sqrt{2})^2 = (a/b)^2 = a^2/b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2$..." e prossegue mostrando que tanto a quanto b devem ser pares.
• Veredito: Esta afirmação é VERDADEIRA.
• Explicação: Os passos algébricos estão corretos.
• Elevar ambos os lados ao quadrado remove a raiz.
• A propriedade de que se a^2 é par, então a é par, é fundamental nesta prova.
• A conclusão de que ambos são pares leva à contradição com a premissa de que a fração era irredutível (pois pares podem ser divididos por 2).

1. Relação entre I e II:

• O enunciado utiliza a conjunção "PORQUE" antes da asserção II.
• A asserção II detalha o processo lógico e matemático que demonstra a impossibilidade da situação descrita na asserção I. Ela fornece a justificativa técnica de como a suposição inicial (I) leva a um resultado impossível (contradição).
• Portanto, a II justifica e desenvolve logicamente a I dentro da estrutura da demonstração.

Conclusão

Ambas as asserções apresentam informações matematicamente corretas sobre a prova da irracionalidade de \sqrt{2}. Além disso, a segunda parte funciona como a justificativa/explicação da primeira, conectando a hipótese inicial às suas consequências lógicas.

Alternativa A