Com os algarismos de 1 a 9, quantos são os números de 4 algarismos DIFERENTES que podemos formar, sabendo-se que necessariamente devemos usar pelo menos um algarismo 2 ou um algarismo 5?

Alternativa E - A^9_4 - A^7_4

Análise da Questão

Para resolver este problema de contagem, utilizaremos o Método do Complemento. Quando o enunciado pede "pelo menos um", é muito mais eficiente calcular o total de possibilidades e subtrair aquelas que não satisfazem a condição.

Passo 1: Calcular o Total de Possibilidades

Primeiro, vamos calcular quantos números de 4 algarismos diferentes podemos formar usando todos os algarismos de 1 a 9, sem nenhuma restrição inicial.

• Elementos disponíveis: 9 (algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
• Posições a preencher: 4.
• Regra: Ordem importa (é um número) e não pode haver repetição.
• Fórmula: Utilizamos o Arranjo Simples (A_{n,p}).

Passo 2: Calcular as Excluídas (O Complemento)

Agora, precisamos contar quantos números não possuem o algarismo 2 e não possuem o algarismo 5. Se subtrairmos esses casos do total, sobrará apenas os números que têm pelo menos um desses dois.

• Restrição: Não usar o 2 nem o 5.
• Novo conjunto de elementos: Do conjunto original de 9, removemos o 2 e o 5.
  9 - 2 = 7 \text{ algarismos restantes} (\{1, 3, 4, 6, 7, 8, 9\})
• Cálculo: Quantos números de 4 algarismos diferentes formamos com esses 7 elementos?

Passo 3: Montar a Expressão Final

Aplicando o princípio fundamental da contagem para o método do complemento:

Portanto, a alternativa correta é a E.