Determine o argumento dos seguintes números complexos:

Esta questão aborda o estudo dos Números Complexos, especificamente focando nas formas Algébrica e Trigonométrica (Polar), além das operações de produto e potenciação no plano complexo. Abaixo, apresento a resolução detalhada para cada item solicitado.

Análise do Item A

Para determinar o argumento de um número complexo z = x + yi, utilizamos a relação trigonométrica \tan(\phi) = \frac{y}{x}.

• Para $z = 1 + i$:
• Parte real (x) = 1
• Parte imaginária (y) = 1
• \tan(\phi) = \frac{1}{1} = 1
• Como o ponto está no primeiro quadrante (x>0, y>0), o ângulo é \phi = \frac{\pi}{4}.
• Para w (número real positivo):
• Um número real positivo situa-se exatamente sobre o eixo real positivo.
• Portanto, o ângulo formado com o próprio eixo é zero.
• Argumento de w = 0.

Análise do Item B

Este item requer a conversão da forma polar para a algébrica e a aplicação da Lei de De Moivre.

Escrita na forma algébrica

Dado o módulo |u| = 2 e o argumento \phi = \frac{3\pi}{4}, a forma trigonométrica é:
u = 2 \left[ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right]

Substituindo os valores trigonométricos conhecidos:

• \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Logo:
u = 2 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}

Sobre o número u^4

Aplicando a propriedade de elevação à potência (Lei de De Moivre):
u^n = r^n [\cos(n\phi) + i \sin(n\phi)]

Para n=4:
u^4 = 2^4 \left[ \cos\left(4 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) \right]
u^4 = 16 [ \cos(3\pi) + i \sin(3\pi) ]

Sabendo que \cos(3\pi) = -1 e \sin(3\pi) = 0:
u^4 = 16 \cdot (-1) = -16

Observação Importante: O cálculo matemático rigoroso demonstra que u^4 é real e negativo (igual a -16). O enunciado solicita provar que é "positivo", o que indica uma possível inconsistência ou erro de digitação no material da questão, pois o ângulo $3\pi$ situa-se no semi-eixo real negativo.

Análise do Item C

Considere um número complexo v e seu conjugado \bar{v}.
Seja v = r(\cos \theta + i \sin \theta). Seu conjugado é \bar{v} = r(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)).

Ao multiplicá-los:
v \cdot \bar{v} = r^2 [\cos(\theta - \theta) + i \sin(\theta - \theta)]
v \cdot \bar{v} = r^2 [\cos(0) + i \sin(0)]
v \cdot \bar{v} = r^2 \cdot 1 = r^2

Como r = |v| é um número real positivo, r^2 também é um número real positivo. Todo número real positivo tem argumento igual a zero.

Conclusão

As respostas finais são:

1. Item a) Argumento de z é \frac{\pi}{4}; Argumento de w é $0$.
2. Item b) Forma algébrica: -\sqrt{2} + i\sqrt{2}. O valor de u^4 calculado é -16 (real e negativo, contradizendo o termo "positivo" do enunciado).
3. Item c) O argumento de v \cdot \bar{v} é $0$ radianos.