Esta é uma lista de exercícios de Álgebra envolvendo simplificação de expressões, fatoração e interpretação geométrica de polinômios. Abaixo está a resolução detalhada de cada item.
Resolução das Questões
Questão 1: Avaliação de Expressão Numérica
O objetivo é determinar o valor da expressão fracionária substituindo a variável x pelo valor dado.
Expressão:
\frac{0,64 - x^2}{0,8 - x}
Método 1: Substituição Direta
Substituindo x = 0,2:
- Numerador: $0,64 - (0,2)^2 = 0,64 - 0,04 = 0,60$
- Denominador: $0,8 - 0,2 = 0,6$
- Divisão: \frac{0,60}{0,6} = 1
Método 2: Fatoração (Diferença de Quadrados)
Note que $0,64$ é o quadrado de $0,8$ ($0,8^2$).
\frac{0,8^2 - x^2}{0,8 - x} = \frac{(0,8 - x)(0,8 + x)}{0,8 - x}
Cancelando o termo (0,8 - x):
0,8 + x
Substituindo x = 0,2:
0,8 + 0,2 = 1
Questão 2: Simplificação Algébrica
Precisamos simplificar a fração algébrica identificando os tipos de produtos notáveis.
Expressão:
\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}
Passo a Passo:
- Numerador: $9x^2 - 6x + 1$ é um Trinômio Quadrado Perfeito.
- Raiz de $9x^2$ é $3x$.
- Raiz de $1$ é $1$.
- Verificação do dobro: $2 \cdot 3x \cdot 1 = 6x$.
- Fatoração: (3x - 1)^2 ou (3x - 1)(3x - 1).
- Denominador: $9x^2 - 1$ é uma Diferença de Quadrados.
- Raiz de $9x^2$ é $3x$.
- Raiz de $1$ é $1$.
- Fatoração: (3x - 1)(3x + 1).
- Simplificação:
\frac{(3x - 1)(3x - 1)}{(3x - 1)(3x + 1)}
Cancelamos um fator (3x - 1) do numerador e do denominador.
Resultado Final:
\frac{3x - 1}{3x + 1}
Questão 3: Fatoração por Agrupamento
Identificamos a equivalência da expressão algébrica através do agrupamento de termos semelhantes.
Expressão:
xz + 2yz - xw - 2yw
Análise:
- Agrupamento: Separamos os termos que contêm z e os que contêm w.
(xz + 2yz) - (xw + 2yw)
(Atenção ao sinal negativo antes do parêntese, ele inverte os sinais internos) - Fator Comum:
- No primeiro grupo: fator comum é z \rightarrow z(x + 2y)
- No segundo grupo: fator comum é w \rightarrow w(x + 2y)
- Reagrupamento:
z(x + 2y) - w(x + 2y)
Agora, o fator comum é (x + 2y).
(x + 2y)(z - w)
Alternativa Correta:
Alternativa (b) - (x + 2y)(z - w)
Questão 4: Interpretação Geométrica
Nesta questão, devemos escrever a expressão algébrica correspondente à área das regiões hachuradas (cinzas) em cada figura. As figuras representam um quadrado grande de lado (x + 2) dividido em quatro retângulos/quadrados menores.
As dimensões são:
- Lado horizontal: x e $2$
- Lado vertical: x e $2$
| Região | Dimensões | Área |
|---|
| Inferior Esquerdo | x \cdot x | x^2 |
| Inferior Direito | $2 \cdot x$ | $2x$ |
| Superior Esquerdo | x \cdot 2 | $2x$ |
| Superior Direito | $2 \cdot 2$ | $4$ |
Itens:
- a) Hachurado: Inferior Esquerdo (x^2), Inferior Direito ($2x$), Superior Direito ($4$).
- Expressão: x^2 + 2x + 4
- (Nota: Representa o quadrado total (x+2)^2 menos o quadrado superior esquerdo $2x$)
- b) Hachurado: Inferior Esquerdo (x^2), Inferior Direito ($2x$), Superior Direito ($4$).
- Expressão: x^2 + 2x + 4
- (Visualmente idêntico ao item 'a', a lógica de cálculo de área é a mesma)
- c) Hachurado: Apenas o Superior Direito ($4$).
- Expressão: $4$
- (Representa apenas a área do quadrado de lado 2)
- d) Hachurado: Inferior Esquerdo (x^2) e Superior Direito ($4$).
- Expressão: x^2 + 4
- (Representa a soma das áreas dos quadrados perfeitos)