Alternativa B - 93240
Para resolver esta questão, precisamos identificar quantos números atendem à definição de "ordeiro" e calcular a soma de todos eles.
Definição do Problema
Um número é ordeiro se:
- Possui exatamente três algarismos.
- Os algarismos são diferentes de zero (ou seja, pertencem ao conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}).
- Os algarismos são distintos entre si.
- Estão em ordem crescente OU decrescente.
Estratégia de Cálculo
Não é necessário listar todos os números manualmente. Podemos usar uma abordagem combinatória focada na contribuição de cada algarismo para a soma total.
- Escolha dos Algarismos: Temos 9 opções de algarismos disponíveis (de 1 a 9). Precisamos escolher 3 algarismos distintos. O número de combinações possíveis é dado por \binom{9}{3}.
\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \text{ combinações} - Arranjo dos Algarismos: Para cada combinação de 3 algarismos escolhidos, existem exatamente 2 números ordeiros válidos:
- Um em ordem crescente (ex: 123).
- Um em ordem decrescente (ex: 321).
Total de números ordeiros = $84 \times 2 = 168$.
- Cálculo da Soma:
Vamos analisar a contribuição de cada algarismo d (de 1 a 9) nas posições Centenas, Dezenas e Unidades. Devido à simetria entre as ordens crescente e decrescente, a frequência com que um algarismo aparece nas casas das centenas e unidades é igual.
A soma total pode ser calculada agrupando os algarismos simétricos (1 com 9, 2 com 8, etc.):
- Algarismos extremos (1 e 9): Aparecem mais vezes nas casas das centenas e unidades. A contribuição conjunta resulta em 28.280.
- Algarismos (2 e 8): Contribuição conjunta de 22.610.
- Algarismos (3 e 7): Contribuição conjunta de 18.560.
- Algarismos (4 e 6): Contribuição conjunta de 16.130.
- Algarismo central (5): Contribuição individual de 7.660.
Somando esses valores:
28.280 + 22.610 + 18.560 + 16.130 + 7.660 = 93.240
Conclusão
A soma de todos os números ordeiros é 93240, o que corresponde à alternativa (B).