Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população.

Alternativa A - N(t) = 10.000 \cdot e^{Kt}

Introdução

Esta questão trata de um modelo de crescimento exponencial, comum em processos biológicos como o aumento de populações bacterianas. O enunciado descreve que a taxa de variação da população é diretamente proporcional à quantidade atual de indivíduos.

Desenvolvimento

Para resolver, precisamos traduzir o texto para uma equação diferencial:

1. Definição das variáveis:

• Seja N(t) o número de bactérias no tempo t.
• A "taxa de crescimento" é derivada \frac{dN}{dt}.

1. Tradução do enunciado:

• A frase "taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias" resulta na equação:
  \frac{dN}{dt} = K \cdot N
• (Nota: Embora o modelo genérico na imagem mostre \frac{dy}{dx} = Kx, isso é provavelmente um erro de digitação, pois o contexto específico exige proporcionalidade com a própria grandeza y ou N, não com a variável independente).

1. Resolução da Equação Diferencial:

• Separamos as variáveis: \frac{dN}{N} = K \, dt.
• Integramos ambos os lados: \int \frac{1}{N} dN = \int K \, dt.
• Obtém-se: \ln(N) = Kt + C.
• Passando para a forma exponencial: N(t) = e^{Kt + C} = e^C \cdot e^{Kt}.
• Definimos e^C como uma constante inicial N_0:
  N(t) = N_0 \cdot e^{Kt}

1. Aplicação da Condição Inicial:

• O enunciado diz: "inicialmente 10 mil bactérias". Isso significa que em t=0, N(0) = 10.000.
• Substituindo na fórmula: $10.000 = N_0 \cdot e^{K \cdot 0} \Rightarrow N_0 = 10.000$.
• A função final é:
  N(t) = 10.000 \cdot e^{Kt}

Análise das Alternativas

• A: Correta. Representa exatamente o modelo exponencial com valor inicial de 10.000.
• B: Incorreta. Coloca a constante K como multiplicador externo e o valor inicial dentro do expoente, invertendo a lógica.
• C: Incorreta. Representa um crescimento linear (N = m \cdot t), não exponencial.
• D: Incorreta. Divide o expoente pelo valor inicial, alterando completamente o comportamento da função.
• E: Incorreta. Adiciona uma multiplicação por t fora do expoente, o que não corresponde ao modelo padrão de crescimento populacional.

Conclusão

O modelo matemático para crescimento proporcional à população atual é sempre uma função exponencial da forma N(t) = N_0 e^{Kt}. Com N_0 = 10.000, a alternativa correta é a A.