Exercícios 25-33: Provas Formais Construa uma prova formal para cada argumento. {A} ⊢ B ⇒A {∼ C} ⊢ C ⇒D {E ∧F} ⊢E∨F {G ⇒H}⊢G⇒(H∨I) {J ⇒(K ∧L)}⊢J ⇒K {M ⇒N}⊢M∧O⇒N {(P ∨Q) ⇒R}⊢P ⇒R {S ⇒(T ∨U), ∼T}⊢S ⇒U

Análise das Provas Formais de Lógica Proposicional

Estes exercícios envolvem prova formal em lógica proposicional usando dedução natural. Vou explicar o método geral e analisar os principais padrões lógicos presentes.

Introdução aos Métodos de Prova

Para construir provas formais, utilizamos regras de inferência padrão:

## Análise dos Exercícios

Exercício 25: {A} ⊢ B ⇒ A

Padrão: Implicação com consequente verdadeiro

Se A é verdade, qualquer implicação com A como consequente é verdadeira, independente do antecedente.

Esquema de prova:

1. A (Premissa)
2. Supor B (Hipótese para →I)
3. Reiterar A (da linha 1)
4. B ⇒ A (→I, linhas 2-3)

Exercício 26: {∼C} ⊢ C ⇒ D

Padrão: Implicação com antecedente falso

Se C é falso, então C ⇒ D é automaticamente verdadeiro (implicação falsa só quando antecedente é V e consequente é F).

Esquema de prova:

1. ¬C (Premissa)
2. Supor C (Hipótese para →I)
3. Contradição: C e ¬C (linhas 1,2)
4. D (por redução ao absurdo ou princípio da explosão)
5. C ⇒ D (→I, linhas 2-4)

Exercício 27: {E ∧ F} ⊢ E ∨ F

Padrão: Introdução de disjunção

Da conjunção podemos extrair qualquer um dos componentes.

Esquema de prova:

1. E ∧ F (Premissa)
2. E (∧E, linha 1)
3. E ∨ F (∨I, linha 2)

Exercício 28: {G ⇒ H} ⊢ G ⇒ (H ∨ I)

Padrão: Reforço do consequente

Se G implica H, então G implica qualquer coisa que contenha H como parte.

Esquema de prova:

1. G ⇒ H (Premissa)
2. Supor G (Hipótese para →I)
3. H (MP, linhas 1,2)
4. H ∨ I (∨I, linha 3)
5. G ⇒ (H ∨ I) (→I, linhas 2-4)

Exercício 29: {J ⇒ (K ∧ L)} ⊢ J ⇒ K

Padrão: Simplificação do consequente

Se J implica uma conjunção, implica cada componente individualmente.

Esquema de prova:

1. J ⇒ (K ∧ L) (Premissa)
2. Supor J (Hipótese para →I)
3. K ∧ L (MP, linhas 1,2)
4. K (∧E, linha 3)
5. J ⇒ K (→I, linhas 2-4)

Exercício 30: {M ⇒ N} ⊢ M ∧ O ⇒ N

Padrão: Adição de premissa irrelevante

Adicionar uma conjunção não invalida uma implicação existente.

Esquema de prova:

1. M ⇒ N (Premissa)
2. Supor M ∧ O (Hipótese para →I)
3. M (∧E, linha 2)
4. N (MP, linhas 1,3)
5. M ∧ O ⇒ N (→I, linhas 2-4)

Exercício 31: {(P ∨ Q) ⇒ R} ⊢ P ⇒ R

Padrão: Fortalecimento do antecedente

Se (P ou Q) implica R, então P (mais forte que P ∨ Q) também implica R.

Esquema de prova:

1. (P ∨ Q) ⇒ R (Premissa)
2. Supor P (Hipótese para →I)
3. P ∨ Q (∨I, linha 2)
4. R (MP, linhas 1,3)
5. P ⇒ R (→I, linhas 2-4)

Exercício 32: {S ⇒ (T ∨ U), ¬T} ⊢ S ⇒ U

Padrão: Silogismo disjuntivo com negação

Se S implica T ou U, e T é falso, então S implica U.

Esquema de prova:

1. S ⇒ (T ∨ U) (Premissa)
2. ¬T (Premissa)
3. Supor S (Hipótese para →I)
4. T ∨ U (MP, linhas 1,3)
5. Caso T: contradiz ¬T (linha 2)
6. Logo, U (eliminação disjuntiva)
7. S ⇒ U (→I, linhas 3-6)

Conclusão

Todos estes exercícios demonstram princípios fundamentais da lógica proposicional:

• Teoremas vacuos: Implicações onde o antecedente é falso ou o consequente é verdadeiro
• Regras de introdução/eliminação: Como usar e criar conectivos lógicos
• Prova por condicional: Método padrão para provar implicações

⚠️ Nota importante: Para exercícios de lógica formal em concursos, verifique qual sistema de dedução natural é exigido (alguns usam axiomas específicos como Hilbert, outros usam tabelas-verdade ou árvores semânticas). As soluções acima seguem o padrão de dedução natural.