Mara, que tem 60 anos de idade, faz uma dieta alimentar e precisa tomar um lanche às 14h30 no qual não pode consumir mais do que 600 calorias e precisa ingerir alimentos que supram as necessidades mínimas diárias de cálcio, a saber, 1200 mg/dia. Nesse lanche, ela quer tomar leite desnatado e comer amêndoas. Represente algebricamente as condições do problema, considerando as porções de leite desnatado e de amêndoas.

Resumo da Resposta

A resolução deste problema exige a construção de um sistema de inequações lineares baseado nos valores nutricionais da tabela. O ponto de interseção das retas limites desse sistema representa a quantidade mínima exata de cada alimento necessária para atender simultaneamente às duas restrições (calorias e cálcio).

Análise Detalhada

1. Definição das Variáveis

Primeiro, devemos atribuir variáveis às quantidades desconhecidas apresentadas no enunciado:

• Seja x o número de porções de leite desnatado.
• Seja y o número de porções de amêndoas.

2. Montagem do Sistema de Inequações (Parte a)

O problema impõe duas condições nutricionais que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo. Vamos traduzir os dados da tabela para equações matemáticas:

• Restrição de Calorias:
• Leite: 100 kcal por porção.
• Amêndoas: 200 kcal por porção.
• Meta: Mais de 500 kcal.
• Inequação: 100x + 200y > 500
• Simplificando (dividindo por 100): x + 2y > 5
• Restrição de Cálcio:
• Leite: 300 mg de cálcio por porção.
• Amêndoas: 150 mg de cálcio por porção.
• Meta: Pelo menos 1200 mg (simbolizado por \geq).
• Inequação: 300x + 150y \geq 1200
• Simplificando (dividindo por 150): 2x + y \geq 8

Assim, o sistema algébrico é:
\begin{cases} x + 2y > 5 \\ 2x + y \geq 8 \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{cases}

3. Representação Gráfica (Parte b)

Para representar graficamente no plano cartesiano:

• Desenhe o eixo horizontal (x) para leite e o vertical (y) para amêndoas.
• Trace a reta x + 2y = 5. Ela passa pelos pontos (5, 0) e (0, 2.5). Como é uma desigualdade estrita (>), use linha tracejada e sombreie acima da reta.
• Trace a reta $2x + y = 8$. Ela passa pelos pontos (4, 0) e (0, 8). Como é uma desigualdade fraca (\geq), use linha sólida e sombreie acima da reta.
• A Região Viável é a área onde os dois sombreamentos se sobrepõem, limitada pelo eixo x e y positivos.

4. Cálculo da Quantidade Mínima (Parte c)

A quantidade mínima ocorre no ponto mais próximo da origem dentro da região viável. Isso corresponde ao vértice formado pela intersecção das duas retas limites.

Para encontrar esse ponto, resolvemos o sistema de equações correspondentes:

1. x + 2y = 5 \Rightarrow x = 5 - 2y
2. Substitua em 2x + y = 8:
   2(5 - 2y) + y = 8
   10 - 4y + y = 8
   10 - 3y = 8
   2 = 3y \Rightarrow y = \frac{2}{3}

Agora, encontre x:
x = 5 - 2(\frac{2}{3}) = \frac{15}{3} - \frac{4}{3} = \frac{11}{3}

Justificativa Final:
Mara deve ingerir \frac{11}{3} porções de leite (aproximadamente 3,67 porções, ou cerca de 917 mL) e \frac{2}{3} porções de amêndoas (exatamente 20 g). Qualquer combinação abaixo desses valores não satisfaria ambas as restrições simultaneamente, enquanto qualquer combinação acima seria maior que o mínimo necessário.