Marque a alternativa que indica a negação da proposição (∀x ∈ R) (x + 2 < x) .

Alternativa C

A questão solicita a negação de uma proposição quantificada universalmente com uma desigualdade estrita. Para resolver, aplicamos duas regras fundamentais da lógica matemática: a troca de quantificadores e a negação da relação de ordem.

Análise Detalhada

A proposição original é dada por:
(\forall x \in \mathbb{R}) (x + 2 < x)

Para encontrar sua negação, devemos seguir estes passos:

1. Negar o Quantificador Universal (\forall)
   A regra estabelece que a negação de "para todo" (\forall) é "existe pelo menos um" (\exists).

• Original: \forall x \in \mathbb{R}
• Negativo: \exists x \in \mathbb{R}

1. Negar a Parte Interna (Predicado)
   A parte interna afirma que "x + 2 é menor que x$" ($x + 2 < x).
   A negação de uma desigualdade estrita ("menor que") deve considerar todas as outras possibilidades, ou seja, ser maior ou igual.

• Simbolicamente: \neg(a < b) \Leftrightarrow a \geq b
• Aplicando ao problema: \neg(x + 2 < x) \Leftrightarrow (x + 2 \geq x)

1. Montagem da Proposição Nega
   Juntando as partes alteradas, temos:
   (\exists x \in \mathbb{R}) (x + 2 \geq x)

Comparação com as Alternativas

Conclusão:
A única alternativa que aplica corretamente a troca do quantificador universal para existencial e nega a desigualdade transformando-a em "maior ou igual" é a Alternativa C.