Matemática Dissertativa

Na área da astronomia e comunicações por satélite, é essencial determinar a distância entre um satélite em órbita e o plano que representa a superfície da Terra. Essa medida é crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma comunicação eficiente. Um satélite está sob órbita no ponto P = (-4, 2, 5) e precisa ajustar sua posição até o plano π: 2x + y - 2z + 8 = 0. Qual a distância que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?

Na área da astronomia e comunicações por satélite, é essencial determinar a distância entre um satélite em órbita e o plano que representa a superfície da Terra. Essa medida é crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma comunicação eficiente. Um satélite está sob órbita no ponto P = (-4, 2, 5) e precisa ajustar sua posição até o plano π: 2x + y - 2z + 8 = 0. Qual a distância que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?

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Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Introdução

A distância entre um ponto e um plano em 3D é calculada pela fórmula geométrica que considera as coordenadas do ponto e os coeficientes do plano.

Desenvolvimento

O plano é dado por 2x + y - 2z + 8 = 0, onde:

  • A = 2, B = 1, C = -2, D = 8

O ponto P é (-4, 2, 5).

Análise

  • Fórmula da distância: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
  • Substituindo os valores:
  • Numerador: |2(-4) + 12 + (-2)*5 + 8| = |-8 + 2 - 10 + 8| = |-8| = 8
  • Denominador: √(2² + 1² + (-2)²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
  • Resultado: d = 8/3 ≈ 2,666...

Conclusão

A distância que o satélite precisa percorrer é 8/3 unidades de comprimento.

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