Alternativa E - I, II, III, IV e V.
Introdução
A questão aborda o método de Demonstração por Exaustão, uma técnica lógica usada em matemática para provar que uma proposição é verdadeira para todos os elementos de um conjunto finito ou enumerável, verificando caso por caso.
No enunciado, o objetivo é validar a desigualdade m^2 \geq m para todo número inteiro m \in \mathbb{Z}.
Análise Detalhada
Para determinar a resposta correta, devemos verificar a validade lógica de cada um dos cinco itens apresentados na demonstração:
- Item I (Definição do Conjunto): Afirma que Z é o conjunto dos inteiros \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}. Esta é a definição padrão de números inteiros, fundamental para estabelecer o domínio da prova. O item está correto.
- Item II (Casos Positivos): Analisa o caso onde m \geq 1. Como m é positivo, ao multiplicar a desigualdade básica $1 \leq m$ pelo valor de m, a relação se preserva: m \cdot 1 \leq m \cdot m \Rightarrow m \leq m^2. O raciocínio lógico é válido. O item está correto.
- Item III (Caso Nulo): Analisa o caso onde m = 0. Substituindo na desigualdade, temos $0^2 \geq 0$, o que resulta em $0 \geq 0$. Como a desigualdade permite a igualdade, o caso é válido. O item está correto.
- Item IV (Casos Negativos): Analisa o caso onde m \leq -1. Aqui, m é um número negativo e seu quadrado m^2 é um número positivo. Por definição, qualquer número positivo é estritamente maior que qualquer número negativo (Positivo > Negativo). Portanto, m^2 \geq m é automaticamente verdadeiro. O item está correto.
- Item V (Conclusão): Sintetiza que a desigualdade foi provada para todos os casos cobertos anteriormente (positivos, zero e negativos). Como a união desses casos cobre todo o conjunto dos inteiros \mathbb{Z}, a conclusão da demonstração é válida. O item está correto.
Conclusão
Como todos os passos (I, II, III, IV e V) constituem uma argumentação matemática sólida e sem erros para provar a afirmação dada, a alternativa que indica que todos os itens estão corretos é a única opção adequada.
Alternativa E.