Na modelagem de sinais amostrados em sistemas digitais, a periodicidade de um sinal discreto e sua classificação em termos de potência ou energia são conceitos centrais para análise de Fourier discreta e processamento digital de sinais. Considere o sinal discreto: $x[n] = cos( rac{\pi}{4} n)$. Com base nas propriedades de periodicidade e na definição de energia e potência para sinais discretos, este sinal é:

Alternativa C - Periódico e de potência

O sinal discreto apresentado é um cosseno definido para todos os valores inteiros de n. Para classificá-lo corretamente, precisamos verificar duas propriedades fundamentais: sua periodicidade e sua classificação em termos de energia ou potência.

Análise da Periodicidade

Um sinal discreto x[n] é periódico se existir um inteiro positivo N tal que x[n] = x[n+N] para todo n. Para sinais senoidais da forma x[n] = \cos(\omega_0 n), a condição de periodicidade exige que a frequência angular normalizada satisfaça:

onde k e N são inteiros. No caso do enunciado:

• \omega_0 = \frac{\pi}{4}
• Calculando o período fundamental N:
  N = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8

Como N=8 é um número inteiro, o sinal é periódico. Sinais periódicos não decaem para zero no infinito, portanto, eles possuem energia infinita.

Classificação de Energia e Potência

A distinção entre sinais de energia e sinais de potência depende das integrais (ou somas, no caso discreto) calculadas sobre o tempo infinito:

1. Sinal de Energia: Possui energia finita ($0 < E < \infty$) e potência média zero. Geralmente são sinais transientes que desaparecem com o tempo.
2. Sinal de Potência: Possui potência média finita e não nula ($0 < P < \infty$), mas energia infinita.

Para um sinal periódico como o cosseno, a energia total é:
E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 = \infty

No entanto, a potência média é calculada sobre um único período N:
P = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = \frac{1}{2}

Como a potência é constante e finita, trata-se de um sinal de potência.

Resumo Comparativo

Portanto, o sinal é classificado como periódico e de potência.