No estudo do crescimento de certa população de animais, foi registrado o tamanho P da população, em dezenas de milhares, ao longo do tempo t, em anos, decorrido desde o início do estudo. Registrando os pares (L, P) obtidos em um plano cartesiano, chegou-se ao seguinte gráfico, em que foram destacadas 3 fases (A, B e C) do crescimento: A lei P(t) da função que modela esse crescimento é dada por diferentes expressões matemáticas, dependendo da fase. Veja: As constantes $t_A$, m, n e L são números reais, com L > 1.

Resumo da Resposta

O problema envolve uma função por partes modelando crescimento populacional.

• a) População inicial é 1 milhar e t_A = 4 anos.
• b) Os parâmetros da fase linear são m = 2,03125 e n = -3,0625.
• c) O valor de estabilização na fase C é 13,38 milhares.

Análise Detalhada

Parte a) População Inicial e Tempo t_A

Para encontrar a população no início do estudo (t=0), utilizamos a expressão da Fase A, válida para $0 \leq t \leq t_A$:
P(t) = \left(\frac{3}{2}\right)^t

Substituindo t=0:
P(0) = \left(\frac{3}{2}\right)^0 = 1
Portanto, a população inicial é de 1 milhar de animais.

Para determinar t_A, observamos o gráfico onde o ponto final da Fase A tem coordenada y = 5,0625. Igualamos a função à população nesse instante:
5,0625 = \left(\frac{3}{2}\right)^{t_A}

Convertendo o decimal para fração para facilitar a identificação da potência:
5,0625 = 5 + \frac{625}{10000} = 5 + \frac{1}{16} = \frac{81}{16}
Reconhecendo que $81 = 3^4$ e $16 = 2^4$:
\frac{81}{16} = \left(\frac{3}{2}\right)^4
Logo, $t_A = 4$.

Parte b) Determinação dos Parâmetros m e n

O enunciado afirma que o aumento total na Fase A foi igual ao aumento na Fase B.

1. Cálculo do aumento na Fase A:
   \Delta P_A = P(t_A) - P(0) = 5,0625 - 1 = 4,0625
2. Cálculo do aumento na Fase B:
   O aumento deve ser o mesmo, então \Delta P_B = 4,0625.
   A Fase B ocorre entre t_A = 4 e t = 6. Seja P(6) a população no final da Fase B.
   \Delta P_B = P(6) - P(4) \Rightarrow 4,0625 = P(6) - 5,0625
   P(6) = 9,125
3. Encontrando m e n:
   A função da Fase B é linear: P(t) = m \cdot t + n. Temos dois pontos nesta reta: (4, 5,0625) e (6, 9,125).

Calculamos a inclinação (m):
m = \frac{9,125 - 5,0625}{6 - 4} = \frac{4,0625}{2} = 2,03125

Calculamos o termo independente (n) usando a equação da reta com um dos pontos:
5,0625 = 2,03125 \cdot 4 + n
5,0625 = 8,125 + n
n = 5,0625 - 8,125 = -3,0625

Assim, $m = 2,03125$ e $n = -3,0625$.

Parte c) Estabilização da População

Na Fase C (t \geq 6), a função é:
P(t) = 13,38 - L^{3-t}

Com L > 1, analisamos o comportamento quando t \to \infty (muitas décadas depois):

• O termo exponencial L^{3-t} pode ser reescrito como \frac{L^3}{L^t}.
• Como L > 1, o denominador cresce indefinidamente, fazendo a fração tender a zero.
  \lim_{t \to \infty} L^{3-t} = 0

Portanto, o valor estável da população é:
P(\infty) = 13,38 - 0 = 13,38

O valor da população estável é 13,38 milhares.