Esta questão aborda os axiomas de Espaços Vetoriais. Um conjunto V com duas operações (adição e multiplicação por escalar) é um espaço vetorial se satisfizer 10 propriedades fundamentais, incluindo associatividade, existência de elemento neutro, existência de inverso e distributividade.
Abaixo está a análise detalhada de cada item:
Análise dos Itens
(a) Números Reais Positivos com Operações Modificadas
Resposta: SIM, é um espaço vetorial.
Embora pareça incomum, este conjunto forma um espaço vetorial. Ele é isomorfo ao \mathbb{R} usual através da função logaritmo.
- Elemento Neutro da Adição: É o número 1, pois x \oplus 1 = x \cdot 1 = x.
- Inverso Aditivo: É o inverso multiplicativo $1/x$, pois x \oplus (1/x) = x \cdot (1/x) = 1.
- As propriedades de distributividade funcionam devido às leis dos expoentes: (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha.
(b) Vetores em \mathbb{R}^2 com xy \geq 0
Resposta: NÃO.
Falta a propriedade de fechamento sob adição. O conjunto contém apenas o 1º e 3º quadrantes (incluindo eixos).
- Exemplo: u = (2, 1) (pertence) e v = (-1, -2) (pertence).
- Soma: u + v = (1, -1). O produto das coordenadas é -1 < 0, logo o resultado não pertence ao conjunto.
(c) Vetores em \mathbb{R}^2 com x \geq 0, y \geq 0
Resposta: NÃO.
Falta a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar.
- Se pegarmos um vetor v = (1, 1) e multiplicarmos por um escalar negativo \alpha = -1:
-1 \cdot (1, 1) = (-1, -1)
O resultado viola a condição x, y \geq 0.
(d) \mathbb{R}^2 com Multiplicação Escalar Anômala
Resposta: NÃO.
Falha na distributividade do escalar sobre o vetor: (\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v.
- Lado Esquerdo: (\alpha + \beta)(x, y) = ((\alpha + \beta)x, y) = (\alpha x + \beta x, y).
- Lado Direito: \alpha(x, y) + \beta(x, y) = (\alpha x, y) + (\beta x, y) = (\alpha x + \beta x, 2y).
As segundas componentes (y e $2y$) não coincidem.
(e) Pares Ordenados com Multiplicação Definida por (\lambda a, 0)
Resposta: NÃO.
Falha na existência do elemento identidade da multiplicação escalar ($1 \cdot v = v$).
- $1 \cdot (a, b) = (1 \cdot a, 0) = (a, 0)$.
- Para ser espaço vetorial, deveria resultar em (a, b). Isso só ocorre se b = 0, mas o conjunto permite qualquer b.
(f) \mathbb{R}^2 com Adição Definida por (x+t+1, y+w+1)
Resposta: NÃO.
Falha na distributividade do escalar sobre a soma de vetores: \alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v.
- Lado Esquerdo: \alpha(x+t+1, y+w+1) = (\alpha(x+t+1), \alpha(y+w+1)).
- Lado Direito: (\alpha x, \alpha y) + (\alpha t, \alpha w) = (\alpha x + \alpha t + 1, \alpha y + \alpha w + 1).
Os termos constantes não batem (escalar multiplica o 1 no lado esquerdo, mas aparece fixo como 1 no direito).
(g) Conjunto de Funções \mathcal{F}(A, \mathbb{R})
Resposta: SIM, é um espaço vetorial.
Esta é a definição clássica do espaço vetorial de funções. As operações são definidas ponto a ponto, herdando todas as propriedades dos números reais.
(h) Conjunto de Sequências Infinitas \mathbb{R}^\infty
Resposta: SIM, é um espaço vetorial.
Análogo ao caso anterior, as operações são definidas componente a componente. É um espaço vetorial fundamental em análise funcional e álgebra linear.
Resumo Final
| Item | É Espaço Vetorial? | Motivo Principal |
|---|
| (a) | SIM | Isomorfo a \mathbb{R} (via logaritmo/exponencial) |
| (b) | NÃO | Não fechado para adição |
| (c) | NÃO | Não fechado para multiplicação por escalar negativo |
| (d) | NÃO | Falha na distributividade (\alpha+\beta)v |
| (e) | NÃO | Falha em $1 \cdot v = v$ |
| (f) | NÃO | Falha na distributividade \alpha(u+v) |
| (g) | SIM | Espaço de funções padrão |
| (h) | SIM | Espaço de sequências padrão |