O conceito geométrico de módulo permite interpretar a equação |x - 1| + |x - 3| = 4 da seguinte forma: para quais valores de x a soma das distâncias de x a 1 e de x a 3 vale 4? Então: quantos elementos possui o conjunto-solução da equação dada?

Alternativa C

A questão aborda a interpretação geométrica do valor absoluto (módulo) na reta numérica. Para resolver, precisamos entender o que cada termo da equação representa.

Análise do Problema

1. Conceito de Módulo: A expressão |x - a| representa a distância entre o ponto x e o ponto a na reta numérica.
2. Interpretação da Equação:

• |x - 1| é a distância de x até o ponto $1$.
• |x - 3| é a distância de x até o ponto $3$.
• A equação |x - 1| + |x - 3| = 4 pede os pontos x onde a soma dessas distâncias é igual a $4$.

Resolução Geométrica

Vamos analisar a distância entre os pontos fixos $1$ e $3$:
\text{Distância}(1, 3) = |3 - 1| = 2

Para qualquer ponto x situado entre $1$ e $3$ (no intervalo [1, 3]), a soma das distâncias até as extremidades será sempre igual à distância total entre elas, ou seja, $2$.
\text{Se } 1 \leq x \leq 3, \quad |x - 1| + |x - 3| = 2

Como o problema exige que a soma seja $4$ (que é maior que $2$), as soluções devem estar fora do intervalo [1, 3]. Isso significa que devemos procurar pontos que estão "além" de $1$ ou "além" de $3$.

Podemos encontrar essas soluções algebricamente verificando os casos:

• Caso 1: $x < 1$ (ponto à esquerda de 1)
  -(x - 1) - (x - 3) = 4
  -x + 1 - x + 3 = 4
  -2x + 4 = 4 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x = 0
  (Verificação: Distância de 0 a 1 é 1; Distância de 0 a 3 é 3. Soma: $1 + 3 = 4$. Correto.)
• Caso 2: $x > 3$ (ponto à direita de 3)
  (x - 1) + (x - 3) = 4
  2x - 4 = 4 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4
  (Verificação: Distância de 4 a 1 é 3; Distância de 4 a 3 é 1. Soma: $3 + 1 = 4$. Correto.)

Conclusão

O conjunto solução da equação é S = \{0, 4\}.

Portanto, o conjunto-solução possui exatamente 2 elementos.

Alternativa C