O conceito geométrico de módulo permite interpretar a equação |x - 1| + |x - 3| = 4 da seguinte forma: para quais valores de x a soma das distâncias de x a 1 e de x a 3 vale 4? E então: quantos elementos possui o conjunto-solução da equação dada?

Alternativa C

A questão aborda o conceito geométrico do módulo, onde |x - a| representa a distância entre os pontos x e a na reta numérica.

Análise do Problema

1. Interpretação Geométrica:

• |x - 1| é a distância entre x e o ponto $1$.
• |x - 3| é a distância entre x e o ponto $3$.
• A equação pede onde a soma dessas distâncias é igual a $4$.

1. Comparação de Distâncias:

• A distância direta entre os pontos fixos $1$ e $3$ é |3 - 1| = 2.
• Qualquer ponto entre $1$ e $3$ terá soma das distâncias igual a $2$.
• Como queremos uma soma de $4$ (que é maior que $2$), as soluções devem estar fora do intervalo [1, 3].

1. Cálculo das Soluções:
   Podemos verificar os valores testando a lógica geométrica ou resolvendo algebricamente:

• Esquerda do 1: Precisamos somar $2$ unidades extras à distância mínima ($4 - 2 = 2$). Caminhando $2$ unidades para a esquerda do ponto $1$, chegamos em x = -1? Não, vamos calcular:
  |0 - 1| + |0 - 3| = |-1| + |-3| = 1 + 3 = 4 (Correto, x=0 é solução).
• Direita do 3: Caminhando para a direita até compensar a diferença:
  |4 - 1| + |4 - 3| = |3| + |1| = 3 + 1 = 4 (Correto, x=4 é solução).

Conclusão

O conjunto-solução da equação é S = \{0, 4\}.
Portanto, o conjunto possui 2 elementos.