O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir. I - O domínio da função f(x,y) = √(x² + y² - 1) é o conjunto Dom(f) = {(x, y) ∈ ℝ²: x² + y² ≥ 1}. II - O domínio da função f(x,y) = 2xy² - xy - 2x é o conjunto Dom(f) = {(x, y) ∈ ℝ: x ≠ 0}. III - O domínio da função f(x,y) = (x+y) / (x-y) é o conjunto Dom(f) = {(x, y) ∈ ℝ²: x = y}. IV - O domínio da função f(x,y) = x² + y² é o conjunto Dom(f) = {(x, y) ∈ ℝ²: x, y ∈ ℝ).

Alternativa A

Para determinar a resposta correta, precisamos analisar o domínio de cada função apresentada nas afirmativas, aplicando as regras de existência de funções reais mencionadas no enunciado.

Análise Detalhada

O enunciado estabelece duas regras principais para encontrar o domínio:

1. Funções Raiz: O conteúdo da raiz deve ser maior ou igual a zero (\geq 0).
2. Funções Quociente (Divisão): O denominador nunca pode ser igual a zero (\neq 0).
3. Funções Polinomiais: Geralmente, o domínio é o conjunto de todos os números reais (\mathbb{R}^2), pois não possuem restrições de raiz ou divisão.

Vamos verificar cada afirmativa:

Afirmativa I

• Regra: Aplicamos a regra da raiz. O radicando deve ser \geq 0.
• Cálculo:
  x^2 + y^2 - 1 \geq 0
  x^2 + y^2 \geq 1
• Conclusão: O conjunto fornecido na afirmativa é exatamente esse. Portanto, a afirmativa I está CORRETA.

Afirmativa II

• Regra: Trata-se de uma função polinomial. Não há divisão nem raiz.
• Análise: Polinômios existem para qualquer valor real de x e y. Não há necessidade de exibir x \neq y.
• Conclusão: A afirmativa II está ERRADA.

Afirmativa III

• Regra: Aplicamos a regra do denominador. Ele não pode ser zero.
• Cálculo:
  (x+y)^2 \neq 0 \Rightarrow x + y \neq 0 \Rightarrow y \neq -x
• Comparação: A afirmativa diz que o domínio é onde x = y. Isso está incorreto, pois a restrição é que a soma não seja zero.
• Conclusão: A afirmativa III está ERRADA.

Afirmativa IV

• Regra: Função polinomial.
• Análise: Existe para qualquer par ordenado de números reais.
• Conclusão: O conjunto fornecido é o plano cartesiano inteiro. Portanto, a afirmativa IV está CORRETA.

Resumo

As únicas afirmativas verdadeiras são a I e a IV.

Portanto, a alternativa correta é a A.