Alternativa C
Para resolver esta questão, devemos analisar as restrições de domínio de cada função apresentada. O domínio de uma função de duas variáveis f(x,y) é o conjunto de pares (x,y) para os quais a função está bem definida.
Análise Detalhada
Item I: $f(x,y) = \frac{xy}{x-y}$
- Restrição: Em frações, o denominador nunca pode ser zero.
- Cálculo: x - y \neq 0 \Rightarrow x \neq y.
- Geometria: Isso significa que o domínio é todo o plano cartesiano, exceto a reta y=x (uma linha diagonal passando pela origem).
- Gráfico: A figura mostra o plano inteiro preenchido, exceto uma linha diagonal tracejada.
- Conclusão: O item I está CORRETO.
Item II: $F(x,y) = \sin(x^2 - 4)$
- Restrição: A função seno é definida para qualquer número real. Não há divisão por zero ou raiz quadrada negativa aqui.
- Domínio: Todo o plano \mathbb{R}^2.
- Gráfico: A figura mostra apenas um círculo limitado. Isso é incorreto, pois o domínio deveria ser infinito.
- Conclusão: O item II está INCORRETO.
Item III: $F(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$
- Restrição: Para raiz quadrada, o conteúdo deve ser maior ou igual a zero.
- Inequação: $9 - x^2 - y^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \leq 9$.
- Geometria: Esta desigualdade descreve o interior de um círculo de raio 3 centrado na origem.
- Gráfico: A figura mostra uma faixa horizontal ou retangular, não um círculo.
- Conclusão: O item III está INCORRETO.
Item IV: $f(x,y) = 1 + \sqrt{x-y^2}$
- Restrição: O conteúdo da raiz deve ser não negativo.
- Inequação: x - y^2 \geq 0 \Rightarrow x \geq y^2.
- Geometria: A equação x = y^2 representa uma parábola com vértice na origem abrindo-se para a direita (para o eixo positivo de x). A condição x \geq y^2 indica a região "interna" dessa parábola.
- Gráfico: A figura mostra claramente a região delimitada por uma parábola abrindo para a direita.
- Conclusão: O item IV está CORRETO.
Resumo
| Item | Função | Domínio Real | Gráfico Apresentado | Status |
|---|
| I | \frac{xy}{x-y} | \mathbb{R}^2 \setminus \{y=x\} | Plano sem linha diagonal | ✅ Correto |
| II | \sin(x^2-4) | \mathbb{R}^2 (todo plano) | Círculo limitado | ❌ Incorreto |
| III | \sqrt{9-x^2-y^2} | Círculo raio 3 | Faixa/Retângulo | ❌ Incorreto |
| IV | $1+\sqrt{x-y^2}$ | Interior de parábola | Região parabólica | ✅ Correto |
As afirmativas corretas são apenas a I e a IV.
Alternativa C