Alternativa D - 5.175 reais
A questão apresenta uma função do segundo grau (quadrática) que modela o lucro de uma empresa. Para encontrar o lucro máximo, precisamos calcular a ordenada do vértice (Y_v) da parábola.
Análise Matemática
A função dada é:
L(Q) = -0,002Q^2 + 9Q - 4.950
Identificamos os coeficientes:
- a = -0,002 (o sinal negativo indica que a parábola abre para baixo, logo há um ponto de máximo)
- b = 9
- c = -4.950
Existem duas formas principais de resolver este problema:
Método 1: Fórmula direta do Vértice (Y_v)
A fórmula para o valor máximo da função é:
Y_v = \frac{-\Delta}{4a}
Onde \Delta (delta) é calculado por b^2 - 4ac:
\Delta = 9^2 - 4 \cdot (-0,002) \cdot (-4.950)
\Delta = 81 - 39,6
\Delta = 41,4
Agora, aplicamos no cálculo do Y_v:
Y_v = \frac{-41,4}{4 \cdot (-0,002)}
Y_v = \frac{-41,4}{-0,008}
Y_v = 5.175
Método 2: Primeiro achar a quantidade (X_v)
Podemos encontrar a quantidade de ventiladores (Q) que gera o lucro máximo usando X_v = -\frac{b}{2a}:
Q = -\frac{9}{2 \cdot (-0,002)} = -\frac{9}{-0,004} = 2.250 \text{ unidades}
Substituímos Q = 2.250 na função original para achar o lucro:
L(2.250) = -0,002 \cdot (2.250)^2 + 9 \cdot (2.250) - 4.950
L(2.250) = -0,002 \cdot 5.062.500 + 20.250 - 4.950
L(2.250) = -10.125 + 20.250 - 4.950
L(2.250) = 10.125 - 4.950
L(2.250) = 5.175
Conclusão
O lucro máximo que pode ser obtido é de 5.175 reais.
Atenção: A alternativa A (2.250) é um distrator comum, pois representa a quantidade de unidades (Q) vendidas para atingir esse lucro, e não o valor monetário do lucro em si.
Portanto, a alternativa correta é a D.