O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q)=-4q²+1.000q-12.000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido é:

Alternativa E - R$ 50.500,00

Para encontrar o valor máximo de lucro, precisamos analisar a função dada como uma função quadrática (polinomial do 2º grau).

A função é:
L(q) = -4q^2 + 1.000q - 12.000

Como o coeficiente do termo q^2 é negativo (a = -4), a parábola tem concavidade voltada para baixo, o que garante a existência de um ponto de máximo.

Análise Matemática

1. Encontrar a abscissa do vértice (q_v)
   A quantidade de unidades que gera o lucro máximo é dada pela fórmula do vértice:
   q_v = \frac{-b}{2a}

Onde:

• a = -4
• b = 1.000

Substituindo os valores:
q_v = \frac{-1.000}{2 \cdot (-4)}
q_v = \frac{-1.000}{-8}
q_v = 125

Isso significa que produzindo e vendendo 125 unidades, atingimos o pico de lucro. Verificamos também que 125 está dentro do intervalo permitido pelo enunciado (entre 0 e 180).

1. Encontrar o valor máximo do lucro (L_{max})
   Agora substituímos q = 125 na função original para achar o valor monetário:
   L(125) = -4(125)^2 + 1.000(125) - 12.000

Calculando passo a passo:

• $125^2 = 15.625$
• -4 \cdot 15.625 = -62.500
• $1.000 \cdot 125 = 125.000$

Somando tudo:
L(125) = -62.500 + 125.000 - 12.000
L(125) = 62.500 - 12.000
L(125) = 50.500

Portanto, o valor máximo de lucro é de R$ 50.500,00.

Alternativa E.