Para que valor de a a equação (x + 3)(ax - 1) + 2x + 2a - 0 tem duas raízes reais e iguais?

Alternativa A

Para resolver esta questão, precisamos transformar a equação dada na forma padrão de uma equação quadrática (Ax^2 + Bx + C = 0) e aplicar a condição para que ela possua raízes reais e iguais.

Passo a Passo da Resolução

1. Simplificar a equação:
   Primeiro, expandimos o produto notável (x + 3)(ax - 1):
   ax^2 - x + 3ax - 3

Agora, substituímos isso na equação original e agrupamos os termos semelhantes:
(ax^2 - x + 3ax - 3) + 2x + 5 + 2a = 0
ax^2 + (-x + 3ax + 2x) + (-3 + 5 + 2a) = 0
ax^2 + (3a + 1)x + (2a + 2) = 0

1. Identificar os coeficientes:
   Comparando com a forma Ax^2 + Bx + C = 0, temos:

• A = a
• B = 3a + 1
• C = 2a + 2

1. Aplicar a condição de raízes iguais:
   Para uma equação ter duas raízes reais e iguais, o discriminante (\Delta) deve ser igual a zero. A fórmula é:
   \Delta = B^2 - 4AC

Substituindo os valores:
(3a + 1)^2 - 4(a)(2a + 2) = 0

1. Resolver a equação para a:
   Desenvolvendo o quadrado do binômio e distribuindo o termo -4a:
   (9a^2 + 6a + 1) - (8a^2 + 8a) = 0
   9a^2 + 6a + 1 - 8a^2 - 8a = 0
   a^2 - 2a + 1 = 0

Esta é uma equação quadrática perfeita, que fatora como:
(a - 1)^2 = 0

Logo:
a - 1 = 0 \Rightarrow a = 1

Conclusão

O valor encontrado para a é 1, que corresponde à primeira opção apresentada na imagem.

Alternativa A