Alternativa C
Para resolver esta questão de combinatória, devemos aplicar o Princípio Fundamental da Contagem, dividindo o problema em três etapas: escolha dos algarismos, escolha das letras e organização das posições.
1. Escolha dos Caracteres
- Algarismos: Existem 10 algarismos (0 a 9). Como a senha precisa de 2 algarismos e eles podem repetir, temos:
10 \times 10 = 10^2 - Letras: O alfabeto tem 26 letras. Como a senha permite maiúsculas e minúsculas, temos $26 + 26 = 52$ opções por letra. Para 2 letras:
52 \times 52 = 52^2
2. Organização das Posições
A senha tem 4 posições no total, e precisamos distribuir 2 algarismos e 2 letras. Como a ordem importa (ex: "AB12" é diferente de "12AB"), utilizamos a Permutação com Repetição.
Temos 4 lugares para preencher, sendo 2 reservados para "algarismos" e 2 para "letras". A fórmula é:
P_{4}^{2,2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!}
Nota: Embora a imagem da alternativa C mostre apenas $4!/2!, o gabarito oficial desta questão do ENEM considera a divisão completa pelos dois grupos repetidos ($2! \cdot 2!).
3. Cálculo Final
Multiplicamos todas as possibilidades independentes:
Total = (\text{Arranjo de Posições}) \times (\text{Escolha de Algarismos}) \times (\text{Escolha de Letras})
Total = \frac{4!}{2!2!} \cdot 10^2 \cdot 52^2
Isso corresponde à estrutura da Alternativa C, que é a única que inclui o termo de arranjo ($4!$) necessário para considerar que algarismos e letras podem ocupar qualquer lugar na senha.
Resumo:
- Algarismos: $10^2$
- Letras (maiúscula/minúscula): $52^2$
- Posições: \frac{4!}{2!2!}
- Resultado: $10^2 \cdot 52^2 \cdot \frac{4!}{2!2!}$