Para uma relação ser considerada função ela precisa satisfazer uma condição. Considere as seguintes relações e verifique se elas são funções: I. $f(x) = 2x + 3$, II. $g(x) = x^2 + 3m(x) = x^2 - 4x + 4$, III. $h(x) = x$, IV. $m(x) = x^2 - 4x + 4$. É correto o que se afirma em:

Análise da Questão sobre Funções

Alternativa A - I, II, III e IV

Introdução

Para determinar se uma relação é uma função, devemos aplicar a definição fundamental: uma relação é função quando cada elemento do domínio (entrada) está associado a exatamente um único elemento do contradomínio (saída).

Na representação algébrica, quando temos uma expressão explícita do tipo y = f(x), onde para qualquer valor de x calculamos um único valor de y, estamos diante de uma função.

Desenvolvimento

Vamos analisar cada uma das relações apresentadas no enunciado:

1. Item I: $f(x) = 2x + 3$

• Trata-se de uma função afim (polinomial do 1º grau).
• Para qualquer número real x, a operação $2x + 3$ resulta em um único número.
• Conclusão: É uma função.

1. Item II: $g(x) = x^2 + 3m(x) = x^2 - 4x + 4$

• Embora a notação contenha uma redundância ou erro de formatação comum em questões impressas ($3m(x)), a estrutura final $x^2 - 4x + 4 representa uma função quadrática (parábola).
• Graficamente, toda parábola vertical atende ao "teste da reta vertical" (uma reta vertical corta o gráfico em no máximo um ponto).
• Conclusão: É uma função.

1. Item III: $k(x) = x$

• Trata-se da função identidade.
• A saída é sempre igual à entrada. Cada x tem uma única imagem.
• Conclusão: É uma função.

1. Item IV: $m(x) = x^2 - 4x + 4$

• Também é uma função quadrática.
• Assim como no item II, para qualquer entrada x, existe um único valor de m(x).
• Conclusão: É uma função.

Análise das Alternativas

Como todas as relações listadas satisfazem a condição de unicidade da imagem, a afirmação correta abrange todos os itens.

Conclusão

Todas as expressões fornecidas (f(x), g(x), k(x) e m(x)) definem regras onde cada valor de entrada gera um único valor de saída. Portanto, todas são funções.

A alternativa correta é a A.