Qual das relações a seguir representa uma função f: R → R que associa cada elemento x a um elemento y = f(x)?

Alternativa E - Gráfico ondulante (senoidal/cossenoide)

Para identificar qual gráfico representa uma função, precisamos aplicar o conceito fundamental de dependência entre variáveis.

Uma relação f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} é considerada uma função se, e somente se, cada valor de x (abscissa) estiver associado a apenas um único valor de y (ordenada).

Visualmente, isso é verificado pelo Teste da Reta Vertical:

• Se você traçar uma linha vertical imaginária em qualquer ponto do eixo x, ela deve cortar o gráfico em no máximo um ponto.
• Se uma linha vertical cortar o gráfico em dois ou mais pontos, aquele x tem múltiplas imagens, logo, não é uma função.

Análise das Opções

Vamos analisar cada gráfico proposto à luz deste critério:

• Opção A: O gráfico possui uma forma de "S" invertido. Se traçarmos uma reta vertical na parte central, ela cruza a curva em três pontos. Portanto, não é uma função.
• Opção B: Representa um arco voltado para a esquerda. Uma reta vertical na região do arco corta o gráfico em dois pontos (superior e inferior). Não é função.
• Opção C: Trata-se de uma circunferência. Quase todas as retas verticais dentro do diâmetro cortam o círculo em dois pontos. Não é função.
• Opção D: O gráfico abre-se para a direita (formato de "<"). Para valores positivos de x, existem dois valores de y. Não é função.
• Opção E: Este gráfico apresenta uma onda suave. Independentemente de onde você trace uma linha vertical ao longo do eixo x, ela encontrará o gráfico em apenas um ponto. Isso satisfaz a definição de função.

Conclusão

A única relação que garante que cada entrada x tenha uma única saída y é a apresentada na letra E.