Quantas comissões diferentes podem ser formadas nessas condições?

Alternativa B

Para resolver esta questão de Combinatória, utilizaremos o método de subtração, onde calculamos o total de possibilidades e subtraímos os casos que violam a regra estabelecida.

Análise do Problema

• Total de elementos: 8 professores.
• Elementos a escolher: 4 cargos distintos.
• Restrição: Dois professores específicos não podem participar juntos.

Como os cargos são distintos (Coordenador, Vice, Secretário, Tesoureiro), a ordem importa. Portanto, utilizamos o Arranjo Simples.

Passo 1: Calcular o total de comissões possíveis (sem restrições)

Utilizamos a fórmula do Arranjo A_{n,p}, onde n=8 e p=4:

Realizando a multiplicação:

• $8 \times 7 = 56$
• $6 \times 5 = 30$
• $56 \times 30 = 1680$

Existem 1.680 comissões possíveis sem considerar a restrição.

Passo 2: Calcular os casos proibidos (ambos participam juntos)

Para contar quantas comissões têm os dois professores específicos, procedemos assim:

1. Garantimos que os 2 professores específicos já estão na comissão.
2. Precisamos escolher mais 2 professores dentre os 6 restantes (já que 8 total menos os 2 específicos). Usamos Combinação (C_{n,p}) pois ainda não definimos cargos para eles neste momento, apenas quem compõe o grupo.

1. Agora temos um grupo de 4 pessoas. Como os cargos são distintos, devemos organizar essas 4 pessoas nas 4 funções. Isso é uma Permutação simples (P_4):

Multiplicando as etapas:
\text{Casos Proibidos} = 15 \times 24 = 360

Passo 3: Aplicar a restrição

Subtraímos os casos proibidos do total geral:

Portanto, existem 1.320 comissões diferentes que podem ser formadas.

Alternativa B.