Quantas filas podem ser formadas com oito pessoas se duas delas devem permanecer juntas?

Alternativa Incorreta nas Visíveis (Resultado: 10.080)

Com base na análise matemática rigorosa da questão apresentada na imagem, o resultado correto é 10.080. Nenhuma das alternativas completamente visíveis (A: 40.320 e B: 20.160) corresponde a este valor, o que sugere que a resposta correta pode estar em uma opção não mostrada (como C ou D) ou que houve um erro no enunciado/impressão.

Resolução Didática

Este é um problema clássico de Princípios de Contagem, especificamente envolvendo Permutação com Restrição (método do agrupamento).

1. Entendendo o Problema

Temos 8 pessoas distintas para formar uma fila. A condição é que duas pessoas específicas devam ficar sempre lado a lado. Em matemática, quando a ordem importa (formar filas), utilizamos a Permutação.

2. Método do Agrupamento (Blocagem)

Para garantir que as duas pessoas fiquem juntas, tratamos elas como um único elemento único (um bloco).

• Elementos originais: 8 pessoas.
• Bloco formado: 1 bloco (contendo as 2 pessoas) + 6 pessoas soltas.
• Total de elementos a permutar: $1 + 6 = 7$ elementos.

3. Passos do Cálculo

Passo A: Permutação Externa (Organizar os blocos)
Precisamos organizar os 7 elementos (o bloco + as 6 pessoas restantes) na fila.
P_7 = 7!
7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5.040

Passo B: Permutação Interna (Organizar dentro do bloco)
As duas pessoas que formam o bloco também podem trocar de lugar entre si (ex: Pessoa X à esquerda de Y, ou Y à esquerda de X).
P_2 = 2!
2! = 2 \times 1 = 2

Passo C: Princípio Multiplicativo
Para obter o total de filas possíveis, multiplicamos as possibilidades externas pelas internas.
\text{Total} = P_{\text{externa}} \times P_{\text{interna}}
\text{Total} = 5.040 \times 2
\text{Total} = 10.080

Resumo Comparativo

Conclusão: A resposta matemática correta é 10.080. Recomenda-se verificar se há uma alternativa C ou D na lista completa de exercícios.