Resolva o seguinte sistema de equações lineares:
x₁ - 2x₂ + 3x₃ - 3x₄ = 2
2x₁ - x₂ + 3x₃ = 1
-x₁ - 4x₂ + 3x₃ - 9x₄ = 4
2x₁ - 7x₂ + 9x₃ - 12x₄ = 7

Question

Resolva o seguinte sistema de equações lineares: x₁ 2x₂ + 3x₃ 3x₄ = 2 2x₁ x₂ + 3x₃ = 1 x₁ 4x₂ + 3x₃ 9x₄ = 4 2x₁ 7x₂ + 9x₃ 12x₄ = 7

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Resolução do Sistema Linear Resumo da resposta : O sistema apresentado é Possível e Indeterminado , apresentando infinitas soluções dependentes de dois parâmetros reais. Desenvolvimento Para resolver o sistema, utilizaremos o Método de Eliminação de Gauss . Primeiro, escrevemos a matriz aumentada associada ao sistema: $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 3 & 0 & 1 \ 1 & 4 & 3 & 9 & 4 \ 2 & 7 & 9 & 12 & 7 \end{array} ight] $$ Realizamos operações elementares nas linhas para triangularizar a matriz: 1. Eliminação da primeira coluna : Substituímos a Linha 2 por $L 2 2L 1$. Substituímos a Linha 3 por $L 3 + L 1$. Substituímos a Linha 4 por $L 4 2L 1$. Resultado intermediário: $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \ 0 & 3 & 3 & 6 & 3 \ 0 & 6 & 6 & 12 & 6 \ 0 & 3 & 3 & 6 & 3 \end{array} ight] $$ 2. Simplificação das linhas subsequentes : Observamos que a Linha 3 é o dobro negativo da Linha 2. Observamos que a Linha 4 é o oposto da Linha 2. Ao zerar essas linhas ($L 3 + 2L 2$ e $L 4 + L 2$), obtemos linhas nulas. Matriz escalonada final: $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \ 0 & 3 & 3 & 6 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} ight] $$ Dividindo a segunda linha por 3 para facilitar a leitura: $$ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 3 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} ight] $$ Análise A interpretação dos resultados segue os critérios de compatibilidade: Posto da Matriz : O número de linhas não nulas é 2 ($	ext{posto} = 2$). Número de Incógnitas : São 4 variáveis ($x 1, x 2, x 3, x 4$). Comparação : Como o posto (2) é menor que o número de incógnitas (4), o sistema possui infinitas soluções . Variáveis Livres : As colunas sem pivô correspondem às variáveis livres. Neste caso, são $x 3$ e $x 4$. Podemos atribuir parâmetros reais $s$ e $t$ às variáveis livres: $x 3 = s$ $x 4 = t$ Isolando as variáveis principais ($x 1$ e $x 2$) na forma reduzida: 1. Da segunda linha: $x 2 x 3 + 2x 4 = 1 \Rightarrow x 2 = s 2t 1$ 2. Da primeira linha: $x 1 2x 2 + 3x 3 3x 4 = 2$ Substituindo $x 2$: $x 1 2(s 2t 1) + 3s 3t = 2$ $x 1 2s + 4t + 2 + 3s 3t = 2$ $x 1 + s + t + 2 = 2 \Rightarrow x 1 = s t$ Conclusão A solução geral do sistema é dada pelo conjunto: $$ \begin{cases} x 1 = s t \ x 2 = s 2t 1 \ x 3 = s \ x 4 = t \end{cases} \quad 	ext{onde } s, t \in \mathbb{R} $$ Portanto, o sistema é classificado como Possível e Indeterminado .

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resolução do Sistema Linear

Desenvolvimento

Análise

Conclusão

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Resolva o seguinte sistema de equações lineares: x₁ - 2x₂ + 3x₃ - 3x₄ = 2 2x₁ - x₂ + 3x₃ = 1 -x₁ - 4x₂ + 3x₃ - 9x₄ = 4 2x₁ - 7x₂ + 9x₃ - 12x₄ = 7