Resolva os sistemas abaixo:

Resolução dos Sistemas de Equações

A questão apresenta dois sistemas de equações que devem ser resolvidos separadamente. Ambos podem ser abordados utilizando propriedades algébricas, como identidades notáveis e equações do segundo grau.

Item a) Sistema Simétrico

Este é um sistema simétrico, onde podemos identificar a soma (x+y) e o produto (xy) das incógnitas.

• Temos x + y = 19 e xy = 84.
• Os valores de x e y são as raízes da equação auxiliar t^2 - (x+y)t + xy = 0.

Substituindo os valores dados:
t^2 - 19t + 84 = 0

Calculamos o discriminante (\Delta):
\Delta = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4(1)(84)
\Delta = 361 - 336 = 25

Encontramos as raízes aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = \frac{-(-19) \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{19 \pm 5}{2}

As raízes são t_1 = 12 e t_2 = 7. Portanto, as soluções possíveis são:

• \{x = 12, y = 7\}
• \{x = 7, y = 12\}

Análise Matemática

Para resolver este tipo de problema, utilizamos a relação entre coeficientes e raízes de polinômios.

Esta abordagem simplifica a resolução, evitando métodos de substituição longos e propensos a erros de cálculo.

Item b) Sistema Não Linear

Neste sistema, temos uma soma e a soma dos quadrados. Utilizaremos uma identidade fundamental para encontrar o produto.

• Dados: x + y = 22 e x^2 + y^2 = 260.
• Elevamos a primeira equação ao quadrado:
  (x + y)^2 = 22^2
  x^2 + 2xy + y^2 = 484

Substituímos x^2 + y^2 por $260$ na equação acima:
260 + 2xy = 484
2xy = 484 - 260
2xy = 224 \Rightarrow xy = 112

Agora, transformamos novamente em um sistema simétrico:

• Soma: x + y = 22
• Produto: xy = 112

Montamos a equação auxiliar t^2 - 22t + 112 = 0. Calculando o \Delta:
\Delta = (-22)^2 - 4(1)(112) = 484 - 448 = 36

Raízes da equação:
t = \frac{22 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{22 \pm 6}{2}

As raízes são t_1 = 14 e t_2 = 8. As soluções são:

• \{x = 14, y = 8\}
• \{x = 8, y = 14\}

Conclusão

Ambos os sistemas foram resolvidos transformando-os em equações do segundo grau através de relações entre soma e produto. Este método é padrão para sistemas simétricos e economiza tempo em comparação à substituição direta.

Respostas finais:

• Item a): S = \{(12, 7), (7, 12)\}
• Item b): S = \{(14, 8), (8, 14)\}