Resolva, por meio do método de Gauss-Jordan, o sistema de equações lineares: x-2y=12 4x+2y=22

Alternativa C - x=6,8 e y=-2,6

Para resolver o sistema de equações lineares utilizando o método de Gauss-Jordan, precisamos transformar a matriz aumentada do sistema em uma Matriz Escalonada Reduzida.

Sistema Original:
\begin{cases} x - 2y = 12 \\ 4x + 2y = 22 \end{cases}

## Análise Passo a Passo

1. Montagem da Matriz Aumentada:
   Colocamos os coeficientes das variáveis à esquerda e os termos independentes à direita da barra vertical.
   \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 12 \\ 4 & 2 & 22 \end{array}\right]
2. Eliminação da primeira coluna (abaixo do pivô):
   Nosso objetivo é zerar o número 4 na segunda linha (L_2). Para isso, realizamos a operação L_2 \leftarrow L_2 - 4 \cdot L_1.

• Calculando os valores:
• $4 - 4(1) = 0$
• $2 - 4(-2) = 2 + 8 = 10$
• $22 - 4(12) = 22 - 48 = -26$

Nova matriz:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 12 \\ 0 & 10 & -26 \end{array}\right]

1. Normalização da segunda linha:
   Precisamos deixar o pivô da segunda linha igual a 1. Dividimos toda a segunda linha por 10 (L_2 \leftarrow L_2 / 10).

• $10 / 10 = 1$
• -26 / 10 = -2,6

Matriz atualizada:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 12 \\ 0 & 1 & -2,6 \end{array}\right]
Neste ponto, já sabemos que y = -2,6.

1. Eliminação da segunda coluna (acima do pivô):
   Agora queremos zerar o -2 da primeira linha (L_1). Realizamos a operação L_1 \leftarrow L_1 + 2 \cdot L_2.

• Calculando os valores:
• $1 + 2(0) = 1$
• -2 + 2(1) = 0
• $12 + 2(-2,6) = 12 - 5,2 = 6,8$

Matriz Final (Forma Escalonada Reduzida):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 6,8 \\ 0 & 1 & -2,6 \end{array}\right]

Conclusão

A leitura direta da matriz final nos fornece os valores das incógnitas:

• $1x + 0y = 6,8 \Rightarrow x = 6,8$
• $0x + 1y = -2,6 \Rightarrow y = -2,6$

Portanto, a solução correta é x = 6,8 e $y = -2,6$, correspondendo à Alternativa C.