Alternativa D - Fixado v ∈ F, C(u) = u . v é uma transformação linear.
Análise da Questão
Para que uma função seja uma transformação linear, ela deve satisfazer duas condições para todos os vetores/matrizes u, w ∈ F e todo escalar c ∈ ℝ:
T(u + w) = T(u) + T(w) \quad \text{(preserva adição)}
T(cu) = cT(u) \quad \text{(preserva multiplicação por escalar)}
Vamos analisar cada alternativa:
Avaliação das Opções
| Alternativa | Função | Linear? | Justificativa |
|---|
| a | D(u) = u⁻¹ | ❌ Não | Matriz inversa não preserva soma. Além disso, matriz nula não tem inverso |
| b | B(u) = u + v | ❌ Não | É transformação afim, não linear (B(0) = v ≠ 0) |
| c | E(u) = uᵀ | ❌ Não | O TRANSPOSTO É LINEAR! Afirmação está errada |
| d | C(u) = u·v | ✅ Sim | Multiplicação por matriz fixa preserva ambas propriedades |
| e | A(u) = u·uᵀ | ❌ Não | Quadrático, não preserva adição |
Demonstração Matemática
Por que a alternativa D é correta:
Para C(u) = u·v com v fixo:
- Adição:
C(u + w) = (u + w) \cdot v = u \cdot v + w \cdot v = C(u) + C(w) - Multiplicação por escalar:
C(cu) = (cu) \cdot v = c(u \cdot v) = cC(u)
Ambas condições são satisfeitas!
Por que as outras estão erradas:
- a) D(0) não existe (matriz nula não tem inversa)
- b) B(0) = v ≠ 0 (deveria ser 0 para ser linear)
- c) E(u + w) = (u + w)ᵀ = uᵀ + wᵀ = E(u) + E(w) — É LINEAR!
- e) A(u + w) = (u + w)(u + w)ᵀ ≠ A(u) + A(w) — termos cruzados aparecem
Conclusão
A única afirmação verdadeira é a alternativa D. Em álgebra linear, a multiplicação à esquerda ou à direita por uma matriz fixa sempre define uma transformação linear.
Alternativa D.