Se $\log{10}(2) = 0.301$ e $\log{10}(3) = 0.477$, então $\log_{10}\left(\frac{6\sqrt{2}}{5}\right)$ é:

Alternativa B

Para resolver esta questão, precisamos utilizar as propriedades operatórias dos logaritmos para decompor a expressão complexa em termos dos valores fornecidos (\log_{10}(2) e \log_{10}(3)).

Decomposição da Expressão

A expressão original é:
\log_{10}\left(\frac{6\sqrt{2}}{5}\right)

Utilizamos as seguintes propriedades fundamentais:

• Logaritmo do Quociente: \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
• Logaritmo do Produto: \log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)
• Logaritmo da Potência: \log(a^n) = n \cdot \log(a)

Aplicando a propriedade do quociente primeiro:
\log_{10}(6\sqrt{2}) - \log_{10}(5)

Em seguida, aplicamos a propriedade do produto no primeiro termo e a da raiz (potência fracionária):
(\log_{10}(6) + \log_{10}(\sqrt{2})) - \log_{10}(5)

Sabemos que $6 = 2 \cdot 3$ e \sqrt{2} = 2^{1/2}. Substituindo:
(\log_{10}(2 \cdot 3) + \log_{10}(2^{1/2})) - \log_{10}(5)
(\log_{10}(2) + \log_{10}(3) + \frac{1}{2}\log_{10}(2)) - \log_{10}(5)

Cálculo dos Valores

Precisamos expressar \log_{10}(5) utilizando apenas \log_{10}(2), pois não temos o valor direto do logaritmo de 5. Usamos a relação fundamental:
\log_{10}(10) = \log_{10}\left(\frac{10}{2}\right) = \log_{10}(5) + \log_{10}(2)
Como \log_{10}(10) = 1, temos:
1 = \log_{10}(5) + \log_{10}(2) \Rightarrow \log_{10}(5) = 1 - \log_{10}(2)

Agora, substituímos todos os valores na expressão expandida:
\text{Valor} = \log_{10}(2) + \log_{10}(3) + 0.5\log_{10}(2) - (1 - \log_{10}(2))
\text{Valor} = \log_{10}(2) + \log_{10}(3) + 0.5\log_{10}(2) - 1 + \log_{10}(2)
\text{Valor} = 2.5\log_{10}(2) + \log_{10}(3) - 1

Substituindo os números dados no enunciado (\log_{10}(2) = 0.301 e \log_{10}(3) = 0.477):
\text{Valor} = 2.5(0.301) + 0.477 - 1

Calculando o produto:
2.5 \times 0.301 = 0.7525

Somando e subtraindo:
0.7525 + 0.477 - 1
1.2295 - 1 = 0.2295

Portanto, o resultado final é 0.2295.

Conclusão

A alternativa correta é a (b).