Se m+n e mn são ambos inteiros pares, então m e n são ambos inteiros pares.

Análise da Proposição sobre Paridade de Inteiros

Resumo da Resposta

A proposição é VERDADEIRA. Se tanto a soma quanto o produto de dois inteiros são pares, então ambos os inteiros devem ser pares.

Desenvolvimento do Raciocínio

Passo 1: Condições necessárias para soma par

Para que m + n seja par, m e n devem ter a mesma paridade:

Explicação: A soma de dois números só é par quando ambos são pares OU ambos são ímpares.

Passo 2: Condições necessárias para produto par

Para que mn seja par, pelo menos um dos fatores deve ser par:

• Par × Par = Par ✓
• Par × Ímpar = Par ✓
• Ímpar × Ímpar = Ímpar ✗

Passo 3: Interseção das condições

Para satisfazer AMBAS as condições simultaneamente:

1. m + n par → exige mesma paridade
2. mn par → exige pelo menos um par

A única situação que atende aos dois requisitos é: ambos pares

• Se ambos ímpares: soma é par, mas produto é ímpar ❌
• Se misturados: produto é par, mas soma é ímpar ❌
• Se ambos pares: soma é par E produto é par ✅

Conclusão

A afirmação está correta. Matematicamente, podemos demonstrar por contradição:

Onde \mathbb{Z} representa os inteiros e $2\mathbb{Z}$ representa os inteiros pares.