Alternativa E - I, II e III
A questão apresenta uma demonstração por contradição (ou redução ao absurdo) de uma propriedade aritmética básica. Vamos analisar passo a passo cada afirmação apresentada no texto:
Análise Lógica
Afirmação I: Hipótese da Negação
- O objetivo é provar que "a \leq \sqrt{n} ou $b \leq \sqrt{n}$".
- Para usar a contradição, assumimos o oposto dessa conclusão como verdadeira.
- O oposto de "a \leq \sqrt{n} ou b \leq \sqrt{n}$" é "$a > \sqrt{n} e $b > \sqrt{n}$".
- A afirmação I estabelece exatamente essa suposição: Suponhamos que n = a \cdot b e a > \sqrt{n} e $b > \sqrt{n}$.
- Correto.
Afirmação II: Desenvolvimento da Contradição
- Multiplicando as desigualdades positivas estabelecidas na afirmação I:
a \cdot b > \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} - Sabemos que \sqrt{n} \cdot \sqrt{n} = n. Logo:
a \cdot b > n - Porém, a premissa original do problema diz que n = a \cdot b.
- Chegar à conclusão de que n > n é um absurdo lógico. Isso contradiz a premissa inicial (n = a \cdot b).
- Correto.
Afirmação III: Conclusão
- Como assumir que ambos os fatores são maiores que a raiz quadrada levou a uma contradição, essa suposição é falsa.
- Portanto, a proposição original deve ser verdadeira: pelo menos um dos fatores deve ser menor ou igual à raiz quadrada de n.
- A afirmação III reitera a tese provada.
- Correto.
Conclusão
Como todas as etapas formam um raciocínio dedutivo válido e matematicamente preciso, todas as afirmativas (I, II e III) estão corretas.