Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes esse inteiro é divisível por 4. Nesse contexto, analise as afirmações a seguir de tal forma que seja possível demonstrar que tal proposição é verdadeira. Suponhamos que n é um inteiro divisível por 6, isto é, n = 6q, para algum inteiro q. II. Vamos analisar o dobro do número n. III. Logo: 2n = 2(6q) = 12q = 4(3q) = 4k, onde k = 3q é um inteiro q.

Alternativa E - I, II e III

A questão apresenta um exercício de lógica matemática focado na construção de uma demonstração de divisibilidade. Para responder, devemos analisar se cada etapa contribui corretamente para provar a afirmação inicial: "Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes esse inteiro é divisível por 4".

Análise Detalhada

Vamos examinar cada afirmação apresentada no enunciado:

1. Afirmação I: A Premissa

"Suponhamos que n é um inteiro divisível por 6, isto é, n = 6q, para algum inteiro q."

Esta etapa é fundamental. Na matemática, dizer que um número n é divisível por 6 significa que ele pode ser escrito como o produto de 6 por outro número inteiro.

• Correção: A afirmação está correta e define adequadamente a hipótese de trabalho.

2. Afirmação II: O Objetivo

"Vamos analisar o dobro do número n."

O enunciado original pergunta sobre "duas vezes esse inteiro" (o dobro de n). Portanto, analisar $2n$ é o passo lógico necessário para verificar a conclusão da proposição.

• Correção: A afirmação está correta e direciona o raciocínio para o que precisa ser provado.

3. Afirmação III: A Conclusão Algébrica

"Logo: 2n = 2(6q) = 12q = 4(3q) = 4k, onde k = 3q é um inteiro..."

Esta etapa realiza a manipulação algébrica para mostrar que $2n$ é múltiplo de 4.

• Substituição: $2n = 2(6q) = 12q$ (Correto)
• Fatoração: $12q = 4(3q)$ (Correto, pois 12 é múltiplo de 4)
• Definição de novo inteiro: Definimos k = 3q. Como q é inteiro, $3q$ também é. Assim, $2n = 4k$, o que prova que $2n$ é divisível por 4.
• Observação: Houve um pequeno erro de digitação no texto da imagem ("inteiros q" em vez de "inteiro"), mas a estrutura lógica e matemática da demonstração permanece válida.
• Correção: A afirmação está correta em sua essência lógica.

Conclusão

As três afirmações (I, II e III) formam, juntas, um roteiro completo e válido para demonstrar a propriedade de divisibilidade solicitada. Nenhuma delas deve ser descartada, pois cada uma cumpre um papel específico no argumento lógico.

Portanto, a alternativa que engloba todas as etapas corretas é a E.