Seja f: ℝ → ℝ definida por f(x) = \begin{cases} -x - 1, ext{se } x acksim -1 \ -x^2 + 1, ext{se } -1

Question

Seja f: ℝ → ℝ definida por f(x) = \begin{cases} x 1, ext{se } x acksim 1 \ x^2 + 1, ext{se } 1 < x < 1 \ x 1, ext{se } x acksim 1 ext{, o conjunto imagem de f é dado por: A) ] ∞, 1[ B) ] ∞, 1[ C) [0, +∞[ D) [1, +∞[ E) [ 1, 1]

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Alternativa C [0, +∞[ Introdução A função $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ é definida por partes, e seu conjunto imagem (intervalos de valores alcançados) deve ser analisado considerando cada parte da função. Desenvolvimento A função tem três seções: 1. Para $ x \leq 1 $: $ f(x) = x 1 $. Quando $ x = 1 $, $ f( 1) = ( 1) 1 = 0 $. À medida que $ x $ diminui (vai para $ \infty $), $ x $ cresce, então $ f(x) $ vai para $ +\infty $. Portanto, essa seção abrange $ [0, +\infty) $. 2. Para $ 1 < x < 1 $: $ f(x) = x^2 + 1 $. É uma parábola aberta para baixo com vértice em $ (0, 1) $. No intervalo $ ( 1, 1) $, o valor mínimo é $ 0 $ (quando $ x \to 1 $ ou $ x \to 1 $) e o máximo é $ 1 $ (em $ x = 0 $). Portanto, essa seção abrange $ [0, 1] $. 3. Para $ x \geq 1 $: $ f(x) = x 1 $. Quando $ x = 1 $, $ f(1) = 0 $. À medida que $ x $ cresce, $ f(x) $ vai para $ +\infty $. Portanto, essa seção abrange $ [0, +\infty) $. Análise Combinando as três seções, o menor valor alcançado por $ f(x) $ é $ 0 $. O valor pode crescer indefinidamente (até $ +\infty $). Portanto, o conjunto imagem de $ f $ é $ [0, +\infty) $. Conclusão A alternativa correta é a C , pois o conjunto imagem da função é $ [0, +\infty) $.

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Seja f: ℝ → ℝ definida por f(x) = \begin{cases} -x - 1, ext{se } x acksim -1 \ -x^2 + 1, ext{se } -1 < x < 1 \ x - 1, ext{se } x acksim 1 ext{, o conjunto imagem de f é dado por: