Alternativa E
Análise Lógica do Enunciado
A questão solicita a formalização lógica da frase "Todos os estudantes são estudiosos" utilizando quantificadores e conectivos lógicos. Vamos decompor o raciocínio passo a passo:
- Identificação do Quantificador:
- A palavra-chave é "Todos".
- Em lógica de predicados, "Todos" indica uma generalização sobre todo o universo de discussão.
- O símbolo correspondente é o Quantificador Universal: \forall.
- Identificação da Relação Lógica:
- A estrutura de uma proposição universal categórica é "Todo S é $P$".
- Essa relação não afirma que tudo no mundo é S e P simultaneamente (isso seria uma conjunção \wedge).
- Ela estabelece uma condição: Se algo é S, então ele é P.
- O conectivo lógico adequado para "se... então" é a Implicação Condicional: \rightarrow.
- Montagem da Fórmula:
- Seja x um elemento qualquer do universo.
- p(x): "x é estudante".
- q(x): "x é estudioso".
- A frase diz: Para todo x, se x é estudante, então x é estudioso.
- Formalmente: \forall x (p(x) \to q(x))
Comparação com as Alternativas
| Alternativa | Símbolo | Interpretação | Correta? |
|---|
| A | (\exists x)(p(x) \to q(x)) | Usa existencial (\exists). Indica "existe pelo menos um". | ❌ Errada |
| B | (\forall x)(p(x) \wedge q(x)) | Usa conjunção (\wedge). Significa "tudo é estudante E estudioso". É típico de "Algum S é P" (com existencial). | ❌ Errada |
| C | (\exists x)(p(x) \vee q(x)) | Usa existencial e disjunção (\vee). | ❌ Errada |
| D | (\forall x)(p(x) \leftrightarrow q(x)) | Usa bicondicional (\leftrightarrow). Significa "se e somente se". Implica que quem não é estudante não é estudioso, o que não está na frase. | ❌ Errada |
| E | (\forall x)(p(x) \to q(x)) | Usa universal (\forall) e condicional (\to). Representa corretamente "Todo S é P". | ✅ Correta |
Observação sobre o Universo
Embora o enunciado mencione que o universo é "formado por todos os estudantes" (o que tornaria p(x) sempre verdadeiro), a estrutura lógica padrão para traduzir proposições universais em provas de concursos segue a forma condicional S \to P. A alternativa E é a representação canônica dessa estrutura.
Conclusão
A frase "Todos os estudantes são estudiosos" é uma proposição universal condicional. Ela deve ser representada pelo quantificador universal (\forall) combinado com a implicação (\to).
Portanto, a alternativa correta é a E.