Para qualquer inteiro positivo n ≥ 1, um estudante afirma que 6n - 1 é divisível por 5. Caso base: a afirmação de que 6¹ - 1 = 5 é divisível por 5. Para fixar k ≥ 1, e supor que Pk é satisfeita, ou seja, 6k - 1 é divisível por 5. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

Alternativa D

A questão apresenta um cenário clássico de análise lógica e matemática, exigindo distinção entre a proposição inicial e a validade do raciocínio desenvolvido.

Análise da Primeira Asserção (A Proposição)

A afirmação inicial citada no enunciado é: "Para qualquer inteiro positivo, 6n-1 é divisível por 5".
Matematicamente, isso representa a expressão linear $6n - 1$.

• Teste de Veracidade: Para uma proposição universal ("para qualquer inteiro"), basta encontrar um único contraexemplo para torná-la falsa.
• Se escolhermos n = 2:
  6(2) - 1 = 12 - 1 = 11
• O número 11 não é divisível por 5.
• Portanto, a primeira asserção é Falsa.

Análise da Segunda Asserção (O Raciocínio)

No desenvolvimento, o estudante utiliza a expressão exponencial $6^n - 1$ e aplica o princípio da indução matemática.

• Base: $6^1 - 1 = 5$ (Divisível por 5). Correto.
• Passo Indutivo: Supõe-se $6^k - 1$ divisível por 5.
• Demonstração:
  6^{k+1} - 1 = 6 \cdot 6^k - 1 = 6(6^k - 1) + 6 - 1 = 6(6^k - 1) + 5
• A manipulação algébrica está correta. O argumento lógico segue as regras da indução perfeitamente para a fórmula exponencial.
• Portanto, a segunda asserção (a validade do raciocínio apresentado) é Verdadeira.

Conclusão

Há uma inconsistência proposital na questão entre a notação inicial ($6n-1$) e a demonstração ($6^n-1$).

1. A proposição inicial é falsa (devido à forma linear).
2. O raciocínio apresentado é verdadeiro (algébrica e logicamente válido para a forma exponencial).

Isso corresponde exatamente à descrição da Alternativa D.